3. Свойства непрерывных функций

Непрерывные функции обладают рядом важных свойств, некоторые из которых мы сформулируем. Функция непрерывная на отрезке [,] за исключением конечного числа точек этого отрезка, в которых она терпит разрывы первого рода, называетсякусочно-непрерывной на этом отрезке. Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой оси.

ТЕОРЕМА 1. Если функции инепрерывны в точке, то в этой точке непрерывны следующие функции:

1. с, с, с =const; 3) ;

2. ; 4) ,  0.

ТЕОРЕМА 2. Если функция =непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке=, то сложная функциянепрерывна в точке.

Замечание. ТЕОРЕМА 2 даёт правило замены переменных при вычислении пределов непрерывных функций

= =. (3)

ТЕОРЕМА 3. Если функция =непрерывна в точкеи 0, то существует окрестность , в которой функциясохраняет свой знак

Символом обозначают множество непрерывных на отрезкефункций. Таким образом, записьбудет означать, что функцияопределена и непрерывна на отрезке.

ТЕОРЕМА (первая теорема Вейерштрасса¹). Если , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует числотакое, что.

Ясно, что обратное утверждение не имеет места, так как функция ограничена на(), однако не является непрерывной на этом отрезке (разрывI рода в точке ).

В том случае, когда , она может быть и неограниченной. Действительно,непрерывна на, но является неограниченной на этом промежутке.

Если функция не является непрерывной на , то ограниченности на этом отрезке может и не быть. Например, функция

определена на отрезке , однако не является ограниченной на нем.

ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса). Если , то она достигает насвоего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют такие точки, что.

ТЕОРЕМА (Больцано² – Коши³). Пусть , причем. Тогда существует точкатакая, что.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кривая на концах отрезкапринимает значения разных знаков, то она пересекает ось абсцисс

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кривая на концах отрезка принимает значения разных знаков, то она пересекает ось абсцисс.

Теореме Больцано – Коши можно придать другую форму, которую часто называют теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции или второй теоремой Больцано – Коши.

ТЕОРЕМА. Пусть и,,. Тогда для любоготакого, что, найдется точкатакая, что.

ТЕОРЕМА. Всякая непрерывная на отрезке [,] функция ограничена этом отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значенийM = sup,m = infи принимает на нём все промежуточные значения из отрезка [m, M].

Типовой пример

Найти корень уравнения = 0.

►Рассмотрим функцию =. Она элементарная, поэтому непрерывная для всех  0.

Вычислим (0) = 2 и(1) = –1.

Т.к. значения функции разных знаков, то корень уравнения лежит в интервале (0,1), т.е. 0 << 1. Разделим отрезок [0,1] пополам и вычислим = . Отсюда следует, что<< 1. Разделим отрезок [1/2,1] пополам и вычислим=< 0. Отсюда следует, что<<, т.е. мы уже вычислили корень уравнения с точностью до 0,25 . Продолжая этот процесс, можно вычислить корень с любой наперед заданной точностью.◄