- •Глава I . Функции. Пределы.
- •§1. Числовые множества
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Декартово произведение. Соответствия
- •4. Числовые промежутки
- •5. Границы числовых множеств
- •§2. Функции действительной переменной
- •1. Отображение
- •2. Основные характеристики функции
- •§3. Пределы
- •1. Предел числовой последовательности
- •2. Предел функции
- •Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы.
- •3. Бесконечно малые величины и их сравнение
- •§4. Непрерывность функции
- •1. Непрерывность функции в точке
- •2. Точки разрыва функции
- •3. Свойства непрерывных функций
- •Последовательности в экономических задачах
- •1. Задачи о непрерывном начислении процентов
- •2. Потоки платежей. Финансовая рента
- •3. Рекуррентное уравнение динамики основного капитала
- •4. Паутинообразная модель рынка
- •Вопросы промежуточного контроля
2. Предел функции
К элементарным функциям относятся: 1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная , показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические; 2) всефункции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция). В класс элементарных функций попадают: а) многочлен; б) рациональная дробь (отношение двух многочленов); в), т.к.; г); д), т.к., и множество других.
Пусть функция определена во всех точках интервала, за исключением, быть может, точки. Число А называетсяпределом функции в точке, если для любогосуществует числотакое, что для любогоx, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство, при этом пишут. Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: числоA называется пределом функции в точкеx0, если для любой последовательности чисел , сходящейся к,. Еслиопределена в интервале,то числоA называется пределом при ,если для любого существует число, такое, что неравенствовлечет за собой неравенство. При этом пишутили. Аналогично определяется.
Типовые примеры
Доказать (найти , что:
1) ,2).
1) ►Надо доказать, что для , для которых, выполняется неравенстводля. Имеем:
Примем . Тогда. Итак, длятакое, чтодля, для которых.◄
2) ►Пусть ,. Тогда. Здесь в числителе пользуемся неравенствома в знаменателе пользуемся неравенством . Пусть . Тогда. Итак, длятакое, что неравенствовыполняется для всехx, для которых .◄
Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или, или, если для любогонайдетсятакое, что для(для) справедливо неравенство. ЧислоA является пределом в точке, если совпадают пределыв этой точке слева и справа:.
Если функция определена в интервале(в интервале) и для любогоM существует такое, что для любого(для любогосправедливо неравенство, то говорят, что левый (правый) предел функциив точкеравен, и при этом пишутилиилиАналогично определяютсяи.
Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если ,, то
(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.
Имеют место равенства
, ,
называемые первым и вторым замечательными пределами. Можно доказать, что
1) = e, 4) = ,
2) = , 5) = 1,
3) = 1, 6) = .
Заметим, что если то в указанных равенствах можно заменитьx на
Например,
При нахождении пределов вида следует иметь в виду, что:
1)если существуют конечные пределы и, то;
2)если и, то вопрос о нахождении данного предела решается непосредственно, при этом помним, чтои;
3)если и, то полагают, гдеприи, следовательно,, где.
Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы.
Типовые примеры
1) .
►Если необходимо найти предел , можно предварительно привести к общему знаменателю
.
Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть
.◄
2)
►Данный пример решается аналогично предыдущему:
◄
3) .
►При подстановке , получим.◄
4) .
►В этом пределе, если подставить , то получится неопределенность, которую можно преодолеть, если разложить разность кубов в знаменателе, а числитель в виде: .
Тогда и подставив , получим: .◄
5) .
►Если необходимо найти предел рациональной функции , то при делении на член с минимальной степенью, получим; и, устремивк 0, получим: .◄
6) ►Имеет место неопределенность вида Так какявляется корнем многочленов из числителя и знаменателя, товыделяется как сомножитель в числителе и знаменателе. Для разложения на множители выполним деление «уголком» Имеем
◄
Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.
7) .
►Сделаем замену переменной. Заменим , при, получим.◄
8) .
►Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим наи разделим, на это же выражение. Тогда получим:
◄
9) .
►[]=(Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю) =
◄
10)
►Имеет место неопределенность вида Произведем заменуТогда при
◄
11) .
►Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу. Для этого умножим и разделим числитель на , а знаменатель на, тогда.◄
12) .
►= [ по первому замечательному пределу ] = ◄
13) .
►
◄
14).
►Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда , где, а, где;
, а , то окончательно. Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций. ◄
15) ► =[ по второму замечательному пределу ] =
◄
16) .
►
◄
17).
►Имеем и. Поэтому.◄
18) Найдите и , если .
► Рассмотрим нахождения левого и правого пределов. Пусть ЕслиСледовательно,Если же
и
Таким образом, Это означает, что не существует◄