
- •Глава I . Функции. Пределы.
- •§1. Числовые множества
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Декартово произведение. Соответствия
- •4. Числовые промежутки
- •5. Границы числовых множеств
- •§2. Функции действительной переменной
- •1. Отображение
- •2. Основные характеристики функции
- •§3. Пределы
- •1. Предел числовой последовательности
- •2. Предел функции
- •Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы.
- •3. Бесконечно малые величины и их сравнение
- •§4. Непрерывность функции
- •1. Непрерывность функции в точке
- •2. Точки разрыва функции
- •3. Свойства непрерывных функций
- •Последовательности в экономических задачах
- •1. Задачи о непрерывном начислении процентов
- •2. Потоки платежей. Финансовая рента
- •3. Рекуррентное уравнение динамики основного капитала
- •4. Паутинообразная модель рынка
- •Вопросы промежуточного контроля
3. Бесконечно малые величины и их сравнение
Функция
называется бесконечно малой при
(или
),
если
(или
).
Так как
,
то при
-бесконечно
малая. Однако
не является бесконечно малой при
,
так как
Одна и та же функция может быть бесконечно
малой или не быть в зависимости от
предельного значенияx0.
Есть функции, например, x2+1,
которые не могут быть бесконечно малыми
ни при каких условиях.
ТЕОРЕМА 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
ТЕОРЕМА 2.
Произведение бесконечно малой в точке
=
функции
на ограниченную в этой точке функцию
есть функция бесконечно малая.
ТЕОРЕМА 3.
Если
— бесконечно малая в точке
=
и не обращается в нуль в некоторой
окрестности этой точки, то
=
– бесконечно большая функция в этой
точке.
Лемма.
Для того, чтобы число
было пределом функции
в точке
=
,
необходимо и достаточно, чтобы разность
–
была бесконечно малой в этой точке.
Пусть
и
– бесконечно малые функции в точке
.
Определение 1.
Если
= 0, то функцию
называютбесконечно
малой более высокого порядка малости
по сравнению
с
и пишут
=o(
)
при
.
Определение 2.
Если
=c
0, то
и
называют бесконечно малымиодного
порядка малости
и пишут
=O(
)
при
.
В частности, если
=c
0, то говорят, что
имеет k-й
порядок малости
по сравнению
с
при
.
Действительное числоk
называют порядком
малости, а
сравнивают чаще всего с функцией
=
–
.
Типовой пример
Пусть
.
Сравнить бесконечно малые
и
.
►Рассмотрим предел отношения данных бесконечно малых.
Так как
,
то
.
Так как
,
то
есть бесконечно малая 2-го порядка
относительно
.◄
Определение 3.
Если
= 1,
и
называютсяэквивалентными,
или асимптотически
равными бесконечно
малыми в точке
.
Пишут
~
при
0
Если
=
+o
,
A
0,
> 0, то выражение
называетсяглавной
степенной частью
бесконечно малой функции
в точке
=
.
ТЕОРЕМА.
Если
~
,
~
при
и
существует, то
=
.
Отметим также:
если
,
то
.
Основные формулы эквивалентности бесконечно малых
Известна формула первого замечательного предела:
.
Используя
это равенство, получим
,
,
,
.
Отсюда получаем первую группу формул эквивалентности бесконечно малых.
При
.
(1)
Вторая группа формул связана с логарифмической функцией.
Имеем:
,
.
Если при
,
то
и получаем вторую
группу формул:
,
(2) Третья группа формул связана с
показательной функцией. Имеем:
.
Отсюда
.
Тогда
,
,
.
Итак, третья группа формул эквивалентности бесконечно малых
,
,
,
(3)
.
Четвертая группа формул связана со степенной функцией.
Имеем: ,
.
Итак, четвертая группа формул эквивалентности бесконечно малых
,
,
,
,
,
, (4)
,
,
.
Все эти четыре группы формул составляют таблицу эквивалентных бесконечно малых.
Типовые примеры
Найти пределы функций.
1)
.
►.
Здесь при
и поэтому применяем формулу из группы
(2)
.
Так как
,
то применяем формулы
и
.◄
2)
.
►
.◄
3)
.
►.Здесь
применены формулы
.◄
4)
.
►
◄
5)
.
►.
Имеем
,
,
,
.
Учитывая это, получаем
=
.◄
6)
.
►Имеем
~
=
,
~
.
Отсюда находим
=
=
=
=
=
=
.◄
Следует помнить,
что принцип эквивалентности не всегда
можно применять. Это прежде всего
касается случая, когда эквивалентность
применяют к сумме. Так, если при
применять эквивалентность к выражениюtgx-sinx,
то получите
не переменную, а 0. По этой же причине
нельзя применять эквивалентность при
в выражениях
,
.
Как быть в таком случае? Надо данные
выражения путем элементарных преобразований
привести к виду, где можно применить
эквивалентность.
Отметим, что все формулы эквивалентности можно использовать для приближенных вычислений.
Типовой пример
Вычислить приближенно.
1)
► Имеем
.
Тогда
.◄
2) ln 0,95.
►
.
Применена формула
.◄
3) cos 0,1.
►
. Применена
формула
.◄