2. Декартово произведение. Соответствия

Пусть и– произвольные множества. Паруэлементов,, взятых в указанном порядке, будем называтьупорядоченной парой, считая при этом, что тогда и только тогда, когда.Декартовым произведением двух множествиназывается множество всех упорядоченных пар:

.

Пусть, например, – множество всех вещественных чисел. Тогдадекартов квадрат есть просто множество всех декартовых координат точек плоскости относительно заданных координатных осей. Аналогичным образом можно было бы ввести декартово произведениетрех множеств, четырех и т.д. Припишут сокращенновместои говорят об-й декартовой степени множества . Элементамиявляются упорядоченные наборы.Так, например, множество называетсяn-мерным арифметическим пространством; в частности, 1-мерное арифметическое пространство R называется числовой прямой, 2-мерное пространство R² — числовой плоскостью, 3-мерное пространство R³ — числовым пространством.

Пример

, ,.

Если в декартовом произведении используются множества бесконечные, то нельзя задать в виде конечного множества пар элементов, как в предыдущем примере. Тогда декартово произведениеудобнее изобразить с помощью чертежа, где элементыиз множества откладываются на горизонтальной прямой, а элементы из множествана вертикальной прямой, пересекающей первую под прямым углом в точке 0.

Пример

Если в декартовом произведении множествивыбрано некоторое подмножество упорядоченных пар , то говорят, что задано соответствие . Обозначается: . Множествоназывается графиком соответствия. Если множествоотложить на горизонтальной оси,- на вертикальной, то множество пар, удовлетворяющих соответствию, является геометрической иллюстрацией графика соответствия.

Пример

Пусть ,:, тогда=

Если пары соответствияобозначить точками и стрелкой от элементаиз множества к элементы из множествасоединить те и только те пары, для которых выполняется, то говорят, что построен граф соответствия.

Областью отправления в соответствии называется множество, множество- это область прибытия соответствия.

Соответствие между множествамиитакое, чтоистинно тогда и только тогда, когда истинно, называется обратным.

Соответствие , график которого является дополнением к графику соответствиядо декартова произведения, называется соответствием, противоположным данному соответствию.

Пример

Для множеств иустановлено соответствие:.

1) Графиком соответствия является множество.

2

8

5

1

) Граф соответствия:

X:

Y:

6

3

2

3) Обратное соответствие для:, если. Если, то график обратного соответствия.

4) Если - график данного соответствия,=

то график соответствия , противоположного соответствию:=.

3. Числовые множества. Комплексные числа

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Например:

–множество натуральных чисел;

–множество целых неотрицательных чисел;

–множество целых чисел;

–множество рациональных чисел;

–множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение .

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается дробью. Например,– ( конечная десятичная дробь);– (бесконечная периодическая дробь). Действительные числа, не являющиеся рациональными, называютсяиррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби. Например, ,.

Рассмотрим, так называемые, комплексные числа, которые возникают уже при решении , например, уравнения .

Комплексным числом называется выражение вида i- символ, называемый мнимой единицей и обладающий свойством . Действительные числаx и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются черезRe z и Im z соответственно.

Всякое комплексное число может быть изображено точкойс абсциссойx и ординатой y в координатной плоскости, называемой комплексной.

Заметим, что любое вещественное число является комплексным, мнимая часть которого равна 0. На комплексной плоскости вещественным числам соответствуют точки, лежащие на оси Ox.

Число называетсямодулем комплексного числа , обозначается символом |z| и равно расстоянию от начала координат О до точки M, изображающей число z.

Угол между положительным направлением осиОx и вектором называетсяаргументом Arg z комплексного числа При этомесли движение от осиOx осуществляется против часовой стрелки, и с противном случае. ЗначенияArg z определяется неоднозначно, с точностью до слагаемых, кратных Поэтому из всех значенийArg z выбирается главное значение, которое лежит в интервале и обозначается через.

Главное значение arg z вычисляется по формуле

Пример

Для числа имеем

arg z =

Запись называетсяалгебраической формой числа z. Из прямоугольного треугольника OAM (см. рис. 1) получаем Таким образом, справедливо равенство

представляющее тригонометрическую форму числа z. Обозначив символом выражение, получаемпоказательную форму комплексного числа z

Пример

Для числа числоназываетсясопряженным, а число -противоположным.

Операция сложения комплексных чисел иопределяется равенством

Произведение чисел z₁ и z₂ вычисляется по обычным законам умножения двучленов с учетом соотношения .

Например,

Деление числа z₁ на z₂ происходит по следующему правилу:

Пример

Нетрудно проверить, что при умножении комплексных чисел z₁ и z₂ их модули перемножаются, а аргументы складываются

При делении комплексных чисел наоборот происходит деление модулей и вычитание аргументов.

Из формулы умножения следует формула Муавра, позволяющая возводить комплексное число в любую натуральную степень

,

или в показательной форме

Пусть - ненулевое комплексное число. Тогда уравнениеN, имеет ровно n различных решений которые можно вычислить по формуле

считая положительным действительным числом, равным арифметическому корнюn-й степени из положительного числа r. Числа , называютсякорнями n-й степени из комплексного числа w и обозначаются символом Из записи чиселz_k видно, что соответствующие им точки на комплексной плоскости лежат на окружности радиуса и образуют правильныйn - угольник.

Типовой пример

Дано комплексное число Требуется:

1) записать число a в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразить число a точкой на комплексной плоскости;

2) вычислить и записать ответ в алгебраической, тригонометрической, показательной формах;

3) решить уравнение записать корни в алгебраической, тригонометрической, показательной формах и изобразить точками на комплексной плоскости.

►1) Найдем алгебраическую форму числа a

. Числу a соответствует точка M(-1;), изображенная на рисунке.

Найдем модуль и аргумент числа а

. Тогда тригонометрическая и показательная формы числа а определяются равенствами

2) По формуле Муавра имеем.

. Из полученной показательной формы числа находим тригонометрическую и алгебраическую формы

3) Из уравнения имеемТак как, находим корни по формуле

Имеем:

Точки, соответствующие корням, изображены на следующем рисунке:

◄