3. Рекуррентное уравнение динамики основного капитала

В среднесрочных и долгосрочных моделях развития предприятия и экономики страны в целом обязательно участвует уравнение, описывающее динамику капитальных ресурсов, т.е. ресурсов, участвующих в процессе производства, изменение их во времени с учетом возможных инвестиций и износа. При этом предполагается, что ежегодные отчисления (амортизация) составляют постоянную долю (процент) остаточной стоимости амортизирующегося основного капитала. Эта доля называется коэффициентом или нормой амортизации. Если норму амортизации обозначить через , а величину основных фондов на начало-го года через(=1, 2, …), то получим рекуррентное уравнение при отсутствии инвестиций

(=1, 2, …).

Если же мы хотим учесть возможные инвестиции, то уравнение изменится. Пусть – объем инвестиций-го года. Тогда динамика капитала будет описываться рекуррентным уравнением

.

При этом начальное значение капитала и объем инвестицийсчитаются известными. Предполагая, что существуютии переходя в этом уравнении к пределу при, получим предельную стоимость основного капитала:

,

или , т.е.

Пример

Найти остаточную стоимость основного капитала на начало 3-го года и предельную стоимость основного капитала, если , ,млн у.е.

► Найдем объем инвестиций в первый год и стоимость основного капиталана начало второго года

. Затем найдем и стоимость основного капитала на начало третьего года

. Предельную стоимость основного капитала найдем по формуле ◄

4. Паутинообразная модель рынка

Рассмотрим простейшую динамическую модель рынка некоторого товара. В этой модели предполагается, что объем спроса в любой текущий момент времени зависит от уровня цены этого периода –, а предложение реагирует на изменение цены с некоторым запаздыванием и зависит от уровня цены в предыдущем периоде –. Обозначим черезиобъемы спроса и предложения в период, тогдаи. Следующее предположение модели состоит в том, что изменение цены во времени происходит таким образом, что текущий спрос равняется текущему предложению, т.е.или. Чтобы упростить анализ этого уравнения, предположим, что

.

Подставив эти выражения в уравнение , получим уравнение, которые вместе с равенствамиобразует так называемую паутинообразную модель рынка. Предположим, что существуют, тогда, переходя в последнем уравнении к пределу при, получимили. Отсюда найдем. Можно показать, что еслии существуют, то существует иВ этом случаеназывается предельным значением равновесных цен.

Пример

Найти предельное значение равновесных цен в паутинообразной модели рынка, если

►Найдем и, т.к.иопределены, то – предельное значение равновесных цен определено◄

Вопросы промежуточного контроля

1. Что называется действительным, комплексным числом?

2. Что называется действительной и мнимой частью, модулем и аргументом комплексного числа?

3. Что называется алгебраической, тригонометрической и показательной формами записи комплексного числа?

4. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?

5. По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами? Напишите формулу Муавра.

6. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

7. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

8. Какая функция называется периодической, четной, сложной? Приведите примеры.

9. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

10. Сформулируйте определение предела последовательности, предела функции в точке и предела функции на бесконечности.

11. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?

12. Сформулируйте определение ограниченной функции. Докажите теорему об ограниченности функции, имеющей предел.

13. Какая величина называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

14. Какая величина называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?

15. Докажите основные теоремы о пределах функции?

16. Докажите первый и второй замечательный пределы.

17. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?

18. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

19. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой. Какие бесконечно малые называются эквивалентными. Сформулируйте их свойства. Приведите примеры.

1Вейерштрасс Карл (1815 – 1897) – выдающийся немецкий математик.

2Больцано Бернард (1781 – 1848) – чешский математик, философ, логик.

3Коши Огюстен (1789 – 1857) – выдающийся французский математик.

57