Глава I . Функции. Пределы.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

§1. Числовые множества

1. Множества и операции над ними

Под множеством понимаем совокупность, систему, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество натуральных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество точек пространства, множество решений квадратного уравнения, и т. д.

Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: . Объекты, из которых состоит множество, называютсяэлементами множества. Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита: . Например,– элементпринадлежит множеству;–элементне принадлежит множеству.

Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое множество, за пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, которые мы будем рассматривать, одновременно являются элементами этого широкого фиксированного множества, называемого универсальным множеством (для этого множества будем применять обозначение ).

Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так: . Примерами пустых множеств являются: множество треугольников, длины сторон которых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат которых равен 2; множество решений системы уравнений ,

Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества: .

Пример

–множество состоит из трех чисел 1, 8, 6 ;– множествосостоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству.

Множество называетсяподмножеством множества , если каждый элемент множестваявляется элементом множества. Обозначается подмножество так:(включено в) или(множествовключает в себя множество). Знаки итакже называютзнаками включения.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если и, то, следовательно, говорят, что множестваиравны или совпадают. Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмножества любому множеству; очевидно, также .иназываютнесобственными подмножествами множества , все остальные подмножества множестваназываютсобственными.

Объединением (или суммой) множеств иназывается множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записываютили.

Понятие объединения обобщается на случай бесконечного числа множеств. Если даны множества, то символическая запись

означает объединение данных множеств, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.

Пример

Объединение множества положительных четных чисел и множества положительных нечетных чисел есть множество натуральных чисел.

Пример

.

Пересечением (или произведением) множеств иназывается множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множествуи множеству. Записываютили.

Для бесконечного набора множеств символ

обозначает их пересечение, т.е. множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам.

Пример

.

Разностью множеств иназывается совокупность тех элементов, которые не содержатся в. Записывают.

Разность , где– универсальное множество, называется дополнением множестваи обозначается символом.

Типовой пример

Выполнить указанные операции над множествами,,- подмножествами множестванатуральных чисел.

►Разность множеств это множество, состоящее из элементов множества, не принадлежащих множеству, то есть.

Множество это множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множестви, то есть=.

Множество состоит из элементов множества, не принадлежащих, то есть.

Множество состоит из элементов, принадлежащих и множеству=, и множеству, то есть=.◄