Учебн. пособия-ОНИ / 1. Данько В.М._Алчевск-06

лета при исследовании его в аэродинамической трубе. Она имеет такую же форму, как и самолет и поэтому обладает подобными аэродинамическими свойствами, но выполнена из дерева и поэтому намного проще.

Модель может быть аналоговой, когда поведение объекта моделируется электрической цепью, функционирование которой описывается такими же дифференциальными уравнениями, как и самого объекта. Такие модели широко используют при изучении механических, акустических, гидродинамических и др. явлений.

Модель может быть математической – в виде совокупности уравнений и (или) неравенств, описывающих поведение реального объекта исследования. Примером может служить модель воздушной оболочки нашей планеты, при помощи которой прогнозируются погодные условия в метеоцентрах. Она состоит из тысяч дифференциальных уравнений, начальные условия для которых задаются по данным метеонаблюдений. Естественно, что такие системы уравнений могут решаться только при помощи очень мощных компьютеров.

Результаты моделирования в значительной степени зависят от качества модели. Модель должна быть адекватной объекту в том аспекте, который соответствует целям исследования. Она должна быть достаточно простой, чтобы исследование было возможным и целесообразным по экономическим критериям. Она должна обеспечивать доступность ее изучения имеющимися средствами. Поэтому создание хорошей модели – один из самых ответственных этапов любого исследования.

Создание модели облегчается при четком понимании принципов данной научной дисциплины. Например, в механике сплошных

21

сред это принципы: сплошности, классичности и феноменологичности. Благодаря им удается описывать сплошные среды разумными по степени сложности системами уравнений, тогда как, например, при атомистическом подходе такие системы невозможно даже записать.

3.2 Математическое моделирование Выше уже указывалось, что математическое моделирование –

это получение решений уравнений, составляющих математическую модель объекта, при изменении начальных и граничных условий этих уравнений. Решениями систем дифференциальных уравнений являются функции, подстановкой в которые значений аргументов можно находить величину параметров, характеризующих поведение объекта в пространстве и времени (вообще говоря – в фазовом пространстве). Если модель состоит из алгебраических уравнений, то их решение дает непосредственно значения параметров данного объекта.

Математическое моделирование большинства технических объектов осуществляют на микро-, макро- и мегауровнях, которые отличаются степенью детализации рассмотрения процессов в объекте.

Математическая модель технического объекта на микроуровне

– это система дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), которая описывает процессы в сплошной среде вместе с заданными краевыми условиями (совокупностью начальных и граничных условий). Система уравнений, как правило, известна, но краевые условия полностью обычно не заданы. Более того, определение краевых условий иногда является конечной целью исследования.

Примером математической модели на микроуровне является система уравнений процесса пластического деформирования при плоской деформации:

22

Это типичная нелинейная система ДУЧП. Поскольку ДУЧП в большинстве случаев не поддаются аналитическому решению, то при моделировании используются различные численные методы решения. В технических науках это обычно метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов

(МГЭ).

В МКР дифференциальные операторы заменяются их разностными аналогами. Например, в методе линий скольжения система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

dydx = tgθ для семейства а

dydx = −ctgθ для семейства b

заменяется конечными разностями:

ym,n − ym−1,n = (xm,n − xm−1,n )tg 12 (θm,n + θm−1,n ) ym,n − ym,n−1 = −(xm,n − xm,n−1 )ctg 12 (θm,n + θm,n−1 )

23

Область исследования разбивается на конечное число узлов при помощи сетки (рис.3.1а). В узлах сетки находятся приближенные значения искомой функции путем решения системы алгебраических уравнений, к которым сводятся конечные разности. Несмотря на свою кажущуюся простоту, МКР не нашел широкого применения в ОМД из-за следующих своих недостатков:

1.Дискретизация области производится регулярной сеткой, что затрудняет точное описание границ нелинейной формы (рис.3.1а). При измельчении сетки возникает проблема сходимости – приближенное решение перестает сходиться к точному решению дифференциальной задачи.

2.Сложность построения сходящейся разностной схемы из-за проблем с точностью и устойчивостью решения.

Этих недостатков лишен МКЭ, вследствие чего он в настоящее время считается самым эффективным методом решения задач ОМД. В отличие от МКР здесь аппроксимируются не производные, а само решение. Искомая функция заменяется кусочно-непрерывной (сплайном), определенной на множестве конечных элементов достаточно произвольной формы, что позволяет хорошо описывать граничные условия сложной геометрии (рис.3.б). Значения функции в узлах находятся или минимизацией функционала, описывающего данную задачу, или же методом Галеркина при использовании исходного дифференциального уравнения. При этом не накладывается никаких ограничений на вид уравнения, что позволяет применять МКЭ для решения нелинейных задач, в частности, теории пластичности.

По точности получаемых результатов МКР и МКЭ теоретически примерно равноценны.

24

а)

б)

в)

Рисунок 3.1 – Способы дискретизации области исследования

25

Сущность МГЭ – в переходе от исходных ДУЧП к эквивалентным интегральным уравнениям. Если такой переход возможен, то тогда решение получается с минимальными вычислительными затратами и с более высокой точностью, чем МКЭ. Важно, что в МГЭ размерность задачи уменьшается на единицу: плоские задачи становятся одномерными, а объемные – плоскими. Граничными элементами аппроксимируется не область, а ее граница (рис.3.1.в), откуда и название метода. Недостаток МГЭ – ограниченность области его применимости классом линейных или линейных относительно приращений задач. Поэтому он особенно широко применяется в линейной теории упругости.

Математической моделью технического объекта на макроуровне является система ОДУ с заданными начальными условиями или система алгебраических уравнений, являющихся решениями ОДУ. Примером может служить система уравнений, описывающих технологический процесс ОМД, которая включает уравнения скоростного и температурного режима деформирования, уравнения энергосиловых параметров процесса и режим деформирования как источник исходных данных.

На мегауровне моделируются в основном две категории технических объектов: системы автоматического управления сложными объектами (например, цехом) и системы массового обслуживания.

3.3 Физическое моделирование Физическими моделированием называется изучение свойств

явлений или процессов на физических моделях, заменяющих собою объект, который в таком случае называется натурой. Моделирование позволяет обойти многочисленные трудности, возникающие при исследованиях на действующем оборудовании (помехи производству,

26

труднодоступность и неудобные размеры натуры, опасность разрушения, большие затраты на испытание различных вариантов натуры или вообще отсутствие натуры).

Для возможности переноса результатов моделирования на натуру необходимо физическое подобие процессов, протекающих в модели и натуре, т.к. в противном случае данные, вполне справедливые для натуры, могут даже качественно не соответствовать реальному объекту исследования. Условия физического подобия устанавливаются теорией подобия.

Теория подобия – это научная дисциплина, изучающая условия подобия различных физических явлений и процессов.

Подобие – это эквивалентность различных явлений, которая обеспечивается преобразованиями масштаба (калибровкой).

Поэтому физически подобные явления или системы обладают свойством калибровочной инвариантности, т.е. не зависимостью своих свойств от размеров, если под «размерами» понимать величину параметров в фазовом пространстве.

Простейшим примером подобия является геометрическое подобие – равенство геометрических тел, которое обеспечивается изменением размеров в n раз. Например, подобие треугольников (рис.3.2):

Рисунок 3.2 – Подобные треугольники

27

Лекция № 4 4.1 Требования к современному эксперименту

В данном курсе под физическим экспериментом будем понимать любое взаимодействие с внешними объектами, направленное на получение новой информации. Поэтому эксперимент - это не только элемент научного исследования, но и многих других видов деятельности: контроля качества продукции, изучения рынка (маркетинга), опросов общественного мнения и т.д.

Эксперименты являются одним из важнейших способов получения информации при изучении объектов природы, техники и общества. Поэтому к качеству их результатов в настоящее время предъявляются очень высокие требования:

1.Достоверности – должны быть найдены абсолютные и относительные погрешности всех определяемых в эксперименте количественных величин при заданной доверительной вероятности или, что тоже самое, проведено интервальное оценивание определяемых величин;

2.Максимальной общности – полученная информация должна охватывать как можно более широкий круг объектов. Примером высокой степени общности является закон всемирного тяготения Ньютона. Минимальной общностью будут обладать результаты экспериментального исследования на объекте, если они справедливы только для этого объекта. Однако эксперимент можно поставить и так, что его результаты будут годиться для целого класса подобных объектов (например, для всех толстолистовых прокатных станов);

3.Минимального числа опытов при получении заданного объема информации. Некоторые эксперименты очень дорогостоящи; другие – очень длительны (в агротехнике), и поэтому большое количество опы-

28

тов может сделать проведение исследований нецелесообразным. Кроме этих, общих для всех видов экспериментов, требований,

при проведении каждого конкретного эксперимента возникают свои, специифические требования, обусловленные особенностями объекта исследования, применяемой аппаратуры и т.д.

4.2 Виды физических экспериментов

Все физические эксперименты подразделяются на активные и пассивные, натурные и модельные (рис.4.1). Таким образом всего имеется четыре вида экспериментов.

Рисунок 4.1 – Виды физических экспериментов

Эксперимент является активным, если исследователь имеет возможность по своему усмотрению устанавливать количество опытов, задавать значения независимых переменных (факторов) в каждом опыте и количество повторений (дублей) каждого опыта. В этом случае заранее составляется план эксперимента, в котором устанавливаются оптимальные (по некоторым критериям) его параметры.

При проведении активных экспериментов возможна минимиза-

29

ция числа опытов, часто упрощается математическая обработка результатов, а математические модели объектов исследования получаются с лучшими, чем при пассивном эксперименте, статистическими свойствами.

Математическая модель исследуемого объекта - это система полученных регрессионным анализом уравнений, описывающих изменение его зависимых переменных (откликов) при изменении факторов.

Эксперимент является пассивным, если нет возможности или необходимости задавать число опытов и значения факторов в каждом опыте. В этом случае дело сводится к регистрации откликов и соответствующих им значений факторов и последующему установлению связей между ними корреляционным или регрессионным анализом.

Преимуществами пассивного эксперимента являются возможности проводить исследования на действующих объектах, не мешая ходу технологического процесса, и дешевизна, т.к. нет необходимости в создании экспериментальной установки. Недостатками его являются значительно большее число опытов для получения заданного объема информации и сложность математической обработки. Но самое главное – получаемые математические модели, как правило, имеют плохие статистические свойства (мультиколлинеарность и т.п.). В результате исчезает возможность раздельного оценивания вклада каждого фактора в отклик, что усложняет понимание механизма исследуемого явления.

Эксперимент является натурным, если он проводится на самом объекте исследования (на натуре), без замены его моделью.

Эксперимент является модельным, если он проводится на модели, в некотором масштабе заменяющей натуру.

30