Учебн. пособия-ОНИ / 1. Данько В.М._Алчевск-06

Преимущества натурного эксперимента в том, что отсутствуют затраты на создание объекта исследования (если он уже существует), а результаты получаются более точными, поскольку нет неизбежных при моделировании погрешностей. Недостаток – в невозможности проведения исследования, если объект еще не создан, или имеется опасность его разрушения при проведении опытов.

Преимущества и недостатки модельного эксперимента обратны преимуществам и недостаткам натурного. Более низкая точность модельных экспериментов обусловлена невозможностью полного выполнения требований теории подобия, что приводит к появлению дополнительных погрешностей.

4.3 Последовательность организации эксперимента

Для всех видов физических экспериментов последовательность их организации стандартизована и состоит из следующих этапов:

1.Аналитический (литературный) обзор ранее проведенных исле-

дований. Проводится во избежание дублирования уже известных результатов, а также с целью получения информации для отработки методики данного эксперимента. Осуществляется поиском публикаций по теме исследования в реферативных журналах или в Internet’е с последующим изучением первоисточников.

2.Выбор зависимых переменных (откликов). Количество откликов должно быть достаточным для полного описания поведения объекта в аспекте данного исследования. Отклики должны быть однозначными, количественными и иметь ясный физический смысл.

Однозначность необходима для предотвращения неопределенности при постановке эксперимента. Например, параметр «пластичность», характеризующий способность металла остаточно деформиро-

31

ваться без разрушения, является неоднозначным (и не количественным), т.к. разные металлы по разному испытываются на пластичность. Для хрупких металлов однозначным параметром является относительное удлинение, а для пластичных – относительное сужение.

Количественность означает возможность измерения данного параметра посредством сопоставления его величины с эталоном. Качественные параметры в технике не имеют большой ценности, т.к.

обычно несут незначительное количество информации.

Ясный физический смысл параметра необходим при интерпретации результатов эксперимента. Физически бессмысленными часто оказываются безразмерные критерии подобия в модельных экспериментах, что не позволяет понять механизм исследуемого явления.

3. Выбор независимых переменных (факторов). Как и отклики, фак-

торы должны быть однозначными, количественными и иметь ясный физический смысл. Однако при их выборе нет таких жестких ограничений по количеству, как при выборе откликов.

В идеале эксперимент должен учитывать все факторы, влияющие на данный объект исследования. Но таких факторов всегда оказывается слишком много (теоретически – бесконечно много), что существенно затрудняет проведение эксперимента. Практически, однако, далеко не все факторы существенно влияют на отклики. Влияние большинства оказывается меньшим, чем требуемая точность эксперимента. Такие факторы называются несущественными и их следует отсеивать, т.е. исключать из эксперимента. Чтобы вместе с несущественными не потерять и существенные факторы, рекомендуется следующая процедура:

– записать все факторы, которые в принципе могут влиять на отклик;

32

– ранжировать их, т.е. расположить по убыванию степени влияния на отклик, используя априорную (доопытную) информацию из аналитического обзора или специальных отсеивающих экспериментов. Результат можно представить в виде условной диаграммы, которая, как правило, имеет вид, показанный на рисунке 4.2;

Рисунок 4.2 – Диаграмма ранжирования факторов

– отобрать несколько первых, наиболее существенных факторов, исходя из компромисса между требованием полноты будущей математической модели и имеющимися у исследователя возможностями.

Полнота модели может быть проверена после окончания эксперимента расчетом множественного коэффициента корреляции.

4.Приведение переменных процесса к безразмерному виду. Проце-

дура обязательная для модельных экспериментов и желательная – для натурных, т.к. увеличивается общность результатов исследования.

5.Составление плана эксперимента. Только для активных экспери-

ментов.

6.Проведение эксперимента.

7.Статистическая обработка экспериментальных данных. Проце-

дура, в результате которой устанавливаются точность и достоверность

33

полученных данных, а также качество найденной математической модели объекта исследования.

8. Интерпретация (истолкование) результатов эксперимента. Не-

обходима для выяснения механизма функционирования объекта исследования. Это дает более глубокое понимание данного явления и часто наталкивает на открытие новых, ранее не известных закономерностей.

34

ТЕМА 2. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Лекция № 5

5.1Статистический характер экспериментальных исследований

Любое экспериментальное исследование, в конечном итоге, сво-

дится к изучению причинно-следственных связей между факторами и откликами. В идеале эти связи должны быть функциональными (или детерминированными), т.е.каждому набору факторов хi должен соответствовать вполне определенный набор откликов yi при любом числе повторений опыта. В случае одного фактора и одного отклика такая зависимость имеет вид (рис.5.1):

Y

yn

:

y2

y1

X

Рисунок 5.1 – Функциональная зависимость

В действительности все изучаемые связи являются вероятностными (стохастическими), т.к. каждому набору факторов xi или каждому фактору x соответствует множество различных значений откликов, случайным образом рассеянных в некотором интервале (имеется ввиду многократное повторение одного и того же опыта). Такая за-

35

висимость показана на рисунке 5.2, где точками обозначены результаты отдельных опытов.

Y

ymax

ymin

X x

Рисунок 5.2 – Вероятностная зависимость

Рассеивание откликов при фиксированных значениях факторов происходит по двум причинам:

1.От наличия погрешностей процесса измерения, связанных с конечной точностью измерительных приборов.

2.От воздействия отсеянных и потому не учитываемых т.н. несущественных факторов (см. рис. 5.1). Эти факторы, однако, воздействуют на отклики, и поскольку их значения изменяются, то меняются и отклики, хотя и не значительно. Это и приводит к их рассеиванию относительно «истинных» значений.

Неучитываемые и неконтролируемые факторы объекта исследования называются помехами или «шумом».

Поскольку изменение несущественных факторов не контролируется, то влияние их на отклик носит случайный характер. Поэтому и рассеивание откликов является случайным.

Моделью реального объекта исследований является т.н. «чер-

36

ный ящик», т.е. система, механизм функционирования которой не доступен для изучения и об изменении его состояния можно судить только по изменению откликов ym в результате изменения контролируемых факторов xn и неконтролируемых помех zk (рис.5.3):

Рисунок 5.3 – «Черный ящик»

Случайные помехи эксперимента нельзя устранить по определению, но их воздействие можно учесть методами математической статистики. Поэтому статистические методы являются одним из основных инструментов при исследованиях реальных явлений и процессов.

5.2 Случайные события и случайные величины

Вероятностные закономерности проявляются только в массовых явлениях, т.е. когда один и тот же объект изменяет свое состояние многократно или когда множество одинаковых объектов однократно изменяют свое состояние одинаковым образом.

Массовые явления и процессы характерны неоднократным повторением при постоянных условиях некоторых событий.

Событием в теории вероятностей называется явление, происходящее при реализации какого-либо комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.

37

Массовые явления всегда являются результатом большого, иногда бесконечно большого числа испытаний.

Испытание – это воспроизведение комплекса условий какого

– либо события.

Событие, которое всегда происходит в результате испытаний, называется достоверным.

Событие, которое никогда не происходит в результате испытаний, называется невозможным.

Событие, которое иногда происходит в результате испытаний, называется случайным.

Например: выпадение «орла» или «решки» при подбрасывании монеты является событием; само подбрасывание – это испытание; падение монеты – достоверное событие; ее вылет в космос – невозможное событие; выпадение «орла» (или «решки») – случайное событие.

Невозможные и достоверные события детерминированы (предопределены) их причинами. Случайные события обусловлены игнорированием слабых (несущественных) связей или незнанием связей сильных. Т.о., по крайней мере в макромире, случайность является результатом незнания всех причин явления.

Если результаты случайных событий поддаются количественной оценке, то их характеризуют при помощи случайных величин.

Случайная величина – это переменная, принимающая в резальтате испытаний то или иное числовое значение.

Имеется два вида случайных величин: дискретные и непрерыв-

ные.

Дискретной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное счетное множество зна-

38

чений.

Это означает, что всем элементам данного множества могут быть сопоставлены натуральные числа или они могут быть выписаны в последовательности X1, X2 ... Xn.

Примером дискретной случайной величины является размер обуви жителей некоторого города.

Непрерывной случайной величиной называется такая переменная, которая может принимать любое значение в некотором интервале.

Поэтому число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно. Например, рост жителей некоторого города.

Поскольку в технике большинство явлений и процессов характеризуется количественными параметрами, которые изменяются случайным образом, то поэтому случайные величины и являются основными объектами изучения и управления.

5.3Статистическая вероятность и распределения случайных величин

Втеории вероятностей под случайной величиной понимают отношения числа благоприятных исходов испытаний к общему числу испытаний. Например, если из 10 испытаний выпадение «орла» имело место в 5 случаях, то вероятность этого события равна 0,5.

Встатистике такое определение не годится, поскольку общее число испытаний не всегда может быть установлено. Поэтому:

Статистическая вероятность p(x) случайной величины x – это относительная частота, с которой отдельное значение данной случайной величины появляется при достаточно большом количестве N испытаний, проводимых в одинаковых условиях:

39

N

åni

i =1

где n(x) – количество данных значений случайной величины x. Например, пусть требуется определить, какую часть от партии

обуви должны составить мужские туфли 42 размера, чтобы не возник дефицит этого размера или «затоваривание». Для этого определили размер обуви у 200 случайно встреченных на улице города мужчин. Оказалось, что 42 размер – у 86 человек. Тогда статистическая вероятность того, что случайная величина x примет значение 42 будет равна

p(42) = 20086 = 0,43

Важно то, что статистическая вероятность не зависит от общего числа «исходов», под которыми, казалось бы, можно понимать общее число испытаний. При увеличении числа испытаний статистическая вероятность только уточняется. Если в предыдущем примере число измерений размера обуви увеличить до 2000, то

p(42) = 2000864 = 0,432 .

В дальнейшем всегда под вероятностью будем всегда иметь ввиду статистическую вероятность.

Обычно различные значения случайной величины встречаются не одинаково часто, т.е. вероятность появления того или иного значения дискретной случайной величины или попадания в тот или иной интервал непрерывной случайной величины не одинакова. Следовательно, имеются определенные статистические закономерности в появлении тех или иных значений случайных величин. Эти закономерно-

сти описываются распределениями случайных величин.

40