Учебн. пособия-ОНИ / 1. Данько В.М._Алчевск-06

Правила, позволяющее для любых интервалов (xi, xi+1) находить вероятности р(xi <x<xi+1) попадания в эти интервалы непрерывных случайных величин или появления тех или иных значений дискретных случайных величин, называются распределениями случайных величин.

Примером эмпирического (полученного из опытов) распределения некоторой случайной величины x является гистограмма частот, показанная на рисунке 5.4:

p(x)

Рисунок 5.4. – Гистограмма частот

Гистограмма, как и полигон частот и диаграмма накопленных частостей (кумулята) являются приближенным способом записи распределения. Точным математическим выражением распределений различных случайных величин являются интегральная и дифференциальная функции распределения.

41

Лекция № 6

6.1Интегральная и дифференциальная функции распределения

Наиболее общей формой задания распределения случайных ве-

личин является интегральная функция распределения. Она опреде-

ляет вероятность того, что случайная величина x примет значение, которое будет меньше фиксированного действительного числа хi

В случае дискретной случайной величины интегральная функция распределения определяется следующим образом

График функции распределения для непрерывной случайной величины имеет вид (рис.6.1):

F(x)

1

Рисунок 6.1. – Интегральная функция непрерывной случайной величины

Эта функция определена от −∞ до +∞ . Ее область значений – от 0 до +1. Кривая интегральной функции распределения асимптоти-

42

чески приближается к значению +1.

Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее, например, x1, равна длине отрезка 0x1 на оси ординат.

Вероятность того, что значение непрерывной случайной величины будет находиться в интервале (x1, x2), равна разности значений F(x) в этих точках

p(x1 < x < x2 ) = F(x2 ) − F(x1 ) .

На графике (рис.6.1) эта вероятность изображается отрезком на оси ординат соответствующей длины.

Для дискретной случайной величины интегральная функция распределения в соответствии с (6.2) имеет вид ступенчатой ломаной ли-

нии (рис.6.2).

F(x)

1 F(x2)

F(x1)

Рисунок 6.2 – Интегральная функция распределения дискретной случайной величины

Она скачкообразно возрастает в точках xi и постоянна в интервалах (xi,xi+1), т.к. в самих этих интервалах вероятность того, что х

43

станет меньше xi, не меняется.

Если F(x) продифференцировать, то получится дифференциальная функция распределения или функция плотности распределения р(х), график которой в случае непрерывной случайной величины имеет вид (рис.6.3):

р(x)

x

Рисунок 6.3 – Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины

Для непрерывных случайных величин область определения р(х) от -∞ до +∞, причем левая и правая ветви графика асимптотически приближаются к оси абсцисс.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины х в интервал (х1, х2) равна

+∞

òp(x)dx = 1 ,

−∞

то вероятность попадания в интервал (х1,х2) интерпретируется как относительная доля площади под кривой р(х) (на рис.4.3 она не заштрихована).

Интегральная и дифференциальная функции распределения эквивалентны с точки зрения описания распределений, поскольку все, что можно узнать по F(x), можно узнать и по р(х). Например, вероятность того, что случайная величина х будет меньше фиксированного числа х1 при помощи дифференциальной функции находится так

x1

p(x < x1 ) = òp(x)dx .

−∞

Вероятность p(x > x1 )

+∞

p (x > x1 ) = òp(x)dx .

x1

Для дискретных случайных величин дифференциальная функция имеет вид ступенчатой линии (рис.6.4):

p(x

x

Рисунок 6.4 – Дифференциальная функция распределения дискретной случайной величины

45

6.2 Математическое ожидание

Интегральная и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими статистическими характеристиками любой случайной величины. Однако многие свойства случайных величин удобнее выражать параметрами статистических совокупностей,

среди которых важнейшими являются математическое ожидание μ(х)

и дисперсия σ2(х).

Очевидно, что о свойствах случайной величины очень многое говорит ее среднее значение

которое еще называется простым средним.

Более точной характеристикой является среднее взвешенное

i =1

где mi – количество i-тых значений случайной величины. Т.к. статистической вероятностью является отношение

i =1

Выражение (6.6) является математическим ожиданием для диск-

ретных случайных величин при условии, что N равно всем значениям

46

данной случайной величины.

Математическим ожиданием называется средневзвешенное значение случайной величины, если оно вычисляется по всем значениям, которые может принимать данная случайная величина.

Поскольку все значения случайной величины называются ее генеральной совокупностью, то математическое ожидание является генеральным средним, т.е. средним по генеральной совокупности.

Математическое ожидание характеризует положение центра распределения случайной величины. На рисунке 6.5 показаны два распределения с разными математическими ожиданиями μ(х1) > μ(х2):

р(x)

x

Рисунок 6.5 – Распределения с разными математическими ожиданиями

Важно, что μ(х) является одним из значений случайной величины и находится на оси абсцисс.

Для непрерывных случайных величин μ(х) определяется выражением:

−∞

47

при условии, что интеграл (6.7) сходится.

Название «математическое ожидание» происходит от термина «ожидаемое значение выигрыша», введенного Б. Паскалем и Х. Гюйгенсом при разработке основ теории вероятностей на основе задач из практики азартных игр. «Ожидаемое значение выигрыша» равно произведению случайной величины на вероятность его появления. Нетрудно видеть, что под интегралом (6.7) находится это произведение. Сам термин «математическое ожидание» был введен П.С.Лапласом в

1795г.

Математическое ожидание обладает рядом простых свойств:

1.μ(с)=с, где с – константа;

2.μ(сх)=с μ(х);

3.μ(с+х)=с+ μ(х),

которые доказываются в теории вероятностей.

6.3 Дисперсия

Степень рассеивания случайной величины относительно центра распределения характеризуется дисперсией (от лат. dispersio – рассеивание).

Дисперсия – это математическое ожидание квадрата разности значений случайной величины х и ее математического ожидания

Дисперсия является центральным моментом распределения 2-го порядка. На рисунке 6.6 показаны два распределения разных случайных величин х1 и х2 с одинаковыми математическими ожиданиями и раз-

ными дисперсиями σ2 (x2 ) > σ2 (x1 ). По рисунку 6.6 видно, что разброс

48

значений случайной величины х2 существенно больше, чем х1.

р(x)

σ2(x1)

σ2(x2)

x

−∞ μ(x) 0 +∞

Рисунок 6.6 – Распределения с разными дисперсиями

Дисперсия вычисляется по всем значениям данной случайной вечины; для непрерывных случайных величин по формуле

i =1

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1.σ2 (c + x) = σ2 (x).

2.σ2 (cx) = c2x .

3.σ2 (x + y) = σ2 (x)+ σ2 (y).

Для характеристики рассеивания случайной величины относительно центра распределения используются еще две величины: среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации.

49

Средним квадратичным отклонением называется корень квадратный из дисперсии

Коэффициент вариации показывает, насколько велико рассеивание по сравнению со средним значением случайной величины

Например, среднее квадратичное отклонение σ(d) валов диа-

метром 50мм и 500мм, изготовленных на токарных станках, одинаково и равно 1мм. Однако ясно, что добиться такой точности для вала большего диаметра значительно труднее, чем малого. Этот факт не характеризуется ни дисперсией, ни средним квадратичным отклонением. Мерой относительного рассеивания является коэффициент вариации, который в нашем случае равен соответственно 0,02 и 0,002. По коэффициенту вариации сразу видно, что достигнутая относительная точность для вала диаметром 500мм на порядок больше, чем у вала меньшего диаметра.

50