5.3.2.2.1. Планы первого порядка

Планы первого порядка позволяют находить линейные уравнения регрессии (I) и нелинейные уравнения (II) с членами, учитывающими эффекты "взаимодействия" факторов:

; (I)

=

=

+ b₁₂₃ x₁x₂x₃ + b₁₂₄x₁x₂x₄+ ...+ b_{(k-2) (k-1) k} x _k-2 x _k-1 x _k . (II)

Для удобства программирования расчетов вводят в состав уравнения регрессии фиктивную переменную х₀= +1 во всех опытах эксперимента:

;

Для РАМПЭ наибольшее распространение получили двухуровневые (m_j=m=2) ортогональныеD-оптимальные планы первого порядка типа 2^(c-a). При таких планах все факторы в кодированном виде могут иметь только два значения (x_j= +1 иx_j= -1). Тип плана обозначает формулу для расчета числа его опытов без их повторения (N):N=m^(c-a)= 2^(c-a), гдеc>a,ckи а равно 0,1, 2, 3, ...

При а = 0 такой план типа 2^(c-a)является планом ПФЭ, а при а > 0 - планом ДФЭ.

Планы, отвечающие условиям ортогональности, позволяют любой коэффициент уравнения регрессии рассчитывать по одной формуле:

,

где i- номер опыта в плане эксперимента;b_d- коэффициент, учитывающий эффект факторов, значения которых приведены в столбцеx_dплана эксперимента;y_i- свойства объекта, измеренные при проведении соответствующего опыта;N- число опытов в эксперименте.

D-оптимальные планы обеспечивают минимальную и одинаковую ошибку в оценке всех коэффициентов уравнения регрессии (), определяемую по формуле

,

где - дисперсия воспроизводимости, характеризующая случайные ошибки всего эксперимента.

Условием ортогональности плана эксперимента является выполнение условия

= 0 при ujиu,jравных 0, 1, 2, ...,k.

Для D- оптимальных планов должны выполняться следующие условия:

при jравном 1, 2, ...,k;

= Nприjравном 0, 1, 2, ...,k.

Выбор плана эксперимента начинается с расчета необходимого числа опытов (N_необх.) или его задания (N_зад.). При этом должны выполняться соотношения

NN_необх.;N_необх.k+ 1 ;N_необх.L+ 1; N_зад.N,

где L- общее число коэффициентов в выбранном семействе полиномов.

При расчете N_необх.задаются видом полинома (типом и числом коэффициентов уравнения регрессииL), а при задании числа опытов определяют вид семейства полиномов, в котором возможно найти уравнение регрессии для данного числа опытов в эксперименте:

k_max=N_зад.- 1;L_max=N_зад.-1.

Рассмотрим возникающие задачи выбора линейного плана на примере.

Допустим, что мы решили исследовать влияние на свойство yчетырех факторовx_j(k= 4) и описать их зависимость уравнением регрессии в виде следующего нелинейного полинома (L= 11):

+ b₁₄ x₁x₄ + b₂₃x₂x₃ + b₂₄x₂x₄ + b₃₄x₃x₄.

Тогда совместное выполнение соотношений даст:

N_необх.k+ 14+15;N_необх.L+ 111+112;N_необх.12.

Очевидно, что соотношению NN_необх отвечают планы типа 2^(с-а)при условии, что (с-a)4 и соответственноN16. Из совокупности планов сN16 выберем план ПФЭ типа 2⁴как наиболее экономный по числу опытов (N= 16) и позволяющий получить наиболее точные оценки коэффициентов уравнения регрессии. При ПФЭ все выборочные коэффициенты уравнения регрессии являются достаточно точными, "несмешанными" оценками соответствующих генеральных коэффициентов:b_d_d.

Для построения ортогонального и D-оптимального плана ПФЭ типа 2⁴воспользуемся одним из распространенных приемов, заключающемся в следующем:

1. Делается заготовка плана в виде таблицы (плана-матрицы эксперимента), в которой предусматривается не менее Nстрок и (L+2) столбца.

2. В первый столбец таблицы заносят номера строк, соответствующие номерам опытов. Во второй столбец - кодированные значения фиктивного фактора х₀= + 1. В третий столбец - кодированные значения первого фактора в виде последовательного чередования друг за другом значений (+1) и (-1). В последующем, четвертом столбце, выбранная комбинация чередований в предыдущем столбце знаков (+1) и (-1)удваивается, например: после двух знаков (+1) следуют два знака (-1). По аналогичному принципу удвоения комбинации чередования знаков предыдущего столбца заполняются и последующие столбцы для всех оставшихся факторов.

3. Столбцы для оценки эффектов "взаимодействия" факторов заполняются путем перемножения знаков для соответствующих факторов в соответствующих строках таблицы.

4. Правильность составления плана проверяется по выполнению условия его D- оптимальности.

Построенный по этому приему план приведен в табл. 16.

Таблица 16

План эксперимента типа 2⁴

Но-	Кодированные значения факторов												y
мер опы­та i	х0	х1	х2	х3	х4	х12	х13	х14	х23	х24	х34
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1
3	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
4	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1
5	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1
6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
7	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1
8	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1
9	+1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1
10	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1
11	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
12	+1	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1
13	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1
14	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
15	+1	+1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1
16	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Нетрудно проверить, что данный план является ортогональным и D-оптимальным.

План с натуральными значениями факторов строится исходя из плана с кодированными значениями путем замены знаков (+1) и (-1) на соответствующие им натуральные значения для данного фактора.

Довольно часто на практике приходится задаваться не видом полинома, а числом опытов из-за дефицита ресурсов для проведения эксперимента (времени, средств и др.). В этом случае выбор плана эксперимента начинают с расчета параметров полинома, которые возможно определить при N_зад.

Допустим, что N_зад.= 10. Тогда:

k_max=N_зад.- 1= 10-1= 9;

L_max=N_зад.-1= 10-1= 9.

Из данных равенств следует, что план с 10 опытами позволяет решить нашу задачу и оценить влияние четырех факторов (k<k_max) по уравнению регрессии в виде полинома с числом коэффициентов не более 9. Исходя из этого выберем для поиска уравнения регрессии линейный полином вида

(L= 5):

.

Для четырех факторов план ПФЭ насчитывает 16 опытов: 2^k= 2⁴= 16. Поэтому приN_зад.= 10 возможна реализация только плана ДФЭ типа 2^(k-a). Наиболее близким по числу опытов кN_зад.= 10 является полуреплика (1/2 часть) плана ПФЭ, т.е. план ДФЭ типа 2^(4-1) с числом опытовN= 8. Проверка показывает, что план типа 2^(4-1)пригоден для решения поставленной задачи, так как выполняются следующие соотношения:

Nk+ 14+15;

NL+ 15+16.

Поскольку план ДФЭ представляет собой часть опытов плана ПФЭ, то необходимо решить, какой именно набор опытов из плана ПФЭ использовать в плане ДФЭ. От этого набора будет зависеть точность определения эффектов влияния факторов на свойство y(так называемая "смешиваемость" коэффициентов).

Построение планов ДФЭ начинают по тому же приему, что и при построении планов ПФЭ для числа факторов, равных разности (k-а):

k-a= 4-1 = 3.

Поэтому построим первоначально заготовку плана ДФЭ типа

2^(4-1)в виде плана ПФЭ типа 2³, предусмотрев в нем (L+2 = 11+2 = 13) колонок (табл. 17).

При заполнении столбца для фактора х₄принцип удвоениячередований уровней не подходит, так как его использование в данном столбце даст только знаки (+1) и такой план не будет являться ортогональным.

Таблица 17

Заготовка плана ДФЭ типа 2^(4-1)

Но-

Кодированные значения факторов

y

мер опы­та i

х0

х1

х2

х3

х4

х12

х13

х14

х23

х24

х34

1

+1

+1

+1

+1

2

+1

-1

+1

+1

3

+1

+1

-1

+1

4

+1

-1

-1

+1

5

+1

+1

+1

-1

6

+1

-1

+1

-1

7

+1

+1

-1

-1

8

+1

-1

-1

-1

Если же для заполнения столбца х₄воспользоваться произведением двух и более других факторов в одной строке плана (так называемымгенерирующим соотношением), то тогда план будет и ортогональным иD- оптимальным.

К выбору генерирующего соотношения нужно подходить осознанно, так как оно определяет "смешанность" коэффициентов уравнения регрессии, полученных по составленному плану.

Исходя из этого составим все возможные варианты генерирующего соотношения для х₄:

х₄=х₁х₂(I);x₄=x₁x₃(II);x₄=x₂x₃(III);x₄=x₁x₂x₃(IV).

Для данных генерирующих соотношений рассчитаем определяющие контрасты путем умножения левой и правой частей соответствующего генерирующего соотношения на х₄:

; ;;.

Так как х₄=1, тои определяющие контрасты можно выразить равенствами:

1 = х₁х₂х₄(I); 1 =х₁х₃х₄(II); 1 =x₂x₃x₄(III); 1 =x₁x₂x₃x₄(IV).

Можно определить в плане столбцы с одинаковым порядком чередования знаков (+1) и (-1), перемножив левые и правые части определяющих контрастов на каждый фактор, например для фактора х₁:

; ;

; .

Эти равенства показывают, что при генерирующих соотношениях I-IVвыборочный коэффициентb₁будет служить оценкой влияния наyне только фактораx₁, но и других:

b₁  ₁ + ₂₄ (I) ; b₁  ₁ + ₃₄ (II); b₁  ₁ + ₁₂₃₄ (III); b₁  ₁ + ₂₃₄ (IV).

Эффекты "взаимодействия" трех и более факторов обычно близки к нулю и ими можно пренебрегать:

b₁  ₁ + ₂₄ (I) ; b₁  ₁ + ₃₄ (II); b₁  ₁(III); b₁  ₁(IV).

Поэтому можно считать, что "несмешанные" оценки эффекта влияния фактора x₁на свойствоyмогут быть получены при реализации плана ДФЭ с генерирующими соотношениямиIIIиIVдля фактора х₄. Результаты проверки на "смешиваемость" остальных эффектов приведены в табл. 18.

Таблица 18

Параметры проверки разрешающей силы дробной реплики типа 2^(4-1)

Параметр	Выражение для определения параметра
Генери­рую­щее соотно­шение	x4=x1x2(I)	x4 = x1x3 (II)	x4 = x2x3 (III)	x4 = x1x2x3 (IV)
Опреде­ля­ю­щий контраст	1 = x1x2x4	1 = x1x3x4	1 = x2x3x4	1 = x1x2x3x4
Оценки коэффи­циентов уравне­ния регрессии	b0  0+124 b1  1 + 24 b2  2 + 14 b3  3 + 1234 b4  4 + 12 b12  12+4 b13  13+234 b14  14+2 b23  23+134 b24  24+1 b34  34+123	b0  0+134 b1  1 + 34 b2  2 + 1234 b3  3 + 14 b4  4 + 13 b12  12+234 b13  13+4 b14  14+3 b23  23+124 b24  24+123 b34  34+1	b0  0+234 b1  1 + 1234 b2  2 + 34 b3  3 + 24 b4  4 + 23 b12  12+134 b13  13+124 b14  14+123 b23  23+4 b24  24+3 b34  34+2	b0  0+1234 b1  1 + 234 b2  2 + 134 b3  3 + 124 b4  4 + 123 b12  12+34 b13  13+24 b14  14+23 b23  23+14 b24  24+13 b34  34+12
Примечание. Жирным шрифтом выделены "несмешанные" коэффициенты

Данные табл. 18 показывают, что при любом генерирующем соотношении точными ("несмешанными") будут пять коэффициентов. Для генерирующего соотношения Iточными будут все коэффициенты, оценивающие эффект фактора х₃, приII- эффект фактора х₂, приIII- эффект фактора х₁, а приIV- линейные эффекты всех факторов.

Допустим, что нас больше всего интересует точность линейных эффектов всех факторов. Поэтому выбираем генерирующее соотношение IVи в соответствии с ним заполняем колонку плана длях₄и остальные колонки (табл. 19).

Этот план, с N= 8, является ортогональным иD-оптимальным, однако, как показывают и данные табл. 18, в нем есть столбцы с совпадающими комбинациями знаков (х₁₄их₂₃,х₁₃их₂₄и др.), что приведет к получению "смешанных" коэффициентов уравнения регрессии (т.е. неточно отражающих влияние соответствующих факторов).

Таблица 19

План ДФЭ типа 2^(4-1) с генерирующим соотношениемx₄=x₁x₂x₃

Но-	Кодированные значения факторов												y
мер опы­та i	х0	х1	х2	х3	х4	х12	х13	х14	х23	х24	х34
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1
3	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
4	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1
5	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
7	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1
8	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Оставшиеся два опыта (опыты № 9 и № 10) можно использовать как повторные для оценки дисперсии воспроизводимости эксперимента, если сделать допущение, что и другие опыты плана имеют такие же случайные ошибки. Дисперсия воспроизводимости () может быть использована для оценки ошибки в определении коэффициентов уравнения регрессии и их значимости, а также проверки адекватности найденного уравнения регрессии.

В соответствии с общепринятыми рекомендациями запланируем опыты для определения при нулевых кодированных значениях всех исследуемых факторов, т.е. в центре плана эксперимента (табл. 20).

В качестве планов первого порядка для проведения РАМПЭ можно использовать не только дробные реплики ПФЭ, но и некоторые другие планы ДФЭ, например планы ПлакеттаБермана.

Следует только еще раз повторить, что прежде, чем использовать планы ДФЭ, необходимо оценить потерю точности в определении эффектов влияния факторов на свойство объекта.

Алгоритмы расчетов при РАМПЭ по планам первого порядка зависят от наличия повторений опытов. Познакомьтесь с ними самостоятельно [8].

После реализации плана эксперимента первого порядка довольно часто найденное уравнение регрессии оказывается неадекватным. В этом случае обычно переходят к выполнению РАМПЭ для поиска уравнения регрессии в семействе полиномов второго порядка по результатам специально спланированных экспериментов.

Таблица 20

План ДФЭ типа 2^(4-1) с опытами для определения

Но-	Кодированные значения факторов												y
мер опы­та i	х0	х1	х2	х3	х4	х12	х13	х14	х23	х24	х34
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1
3	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
4	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1
5	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
7	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1
8	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
9	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
10	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0