5.1.1.1. Анализ поля корреляции (визуальный анализ)

Полем корреляции называют рисунок (график), выполненный на плоскости в системе двух прямоугольных координат yи х, на котором приведены точки с координатамиy_vиx_v(V- номер уровня фактора х от 1 доm). Пример поля корреляции одного свойства объекта (y) и одного фактора (х) приведен на рис. 3.

Анализ поля корреляции проводится визуально. Для облегчения анализа рекомендуется весь массив точек с координатамиy_vиx_v( на рис. 3 приведены точки с координатамиy₁и х₁,y₂и х₂,y₃и х₃, ...,y_vи х_v, ...,y₈и х₈) обвести замкнутым контуром. Характер этого контура помогает более точно сделать все выводы корреляционного анализа, например, чем больше контур приближается к форме окружности, тем выше вероятность того, что нет зависимости междуyиx.

Метод анализа поля корреляции не является достаточно точным в основном из-за влияния на вид поля корреляции выбранного масштаба координатных осей yиx. Однако при корреляционном анализе это единственный метод определения характеранелинейной зависимостимеждуyи х.

5.1.1.2. Анализ выборочного коэффициента корреляции

Этот метод является более точным при установлении линейной корреляции между yиx_j, так как он основан не на визуальном восприятии графического представления случайных чисел, а на математических расчетах и постулатах.

Рассмотрим самый простой случай: корреляцию между двумя случайными величинами (yих).

Присвоим каждой точке на поле корреляции свой номер i(такой же номер будет и у взаимосвязанной пары координат этой точки). ОбозначимNобщее число точек с координатамиy_iиx_i. Тогда выборочный коэффициент парной корреляции можно рассчитать по формуле

,

гдеy- общее среднее арифметическое значениеy;x- общее среднее арифметическое значениех;S_xиS_y - выборочные абсолютные стандартные отклонения соответственнохиy(эти параметры используются как характеристики рассеивания единичных значений хиyотносительно их общих средних арифметических значений).

Общие средние арифметические значения находят по формулам

;.

Выборочные абсолютные стандартные отклонения х и yможно рассчитать следующим образом:

;.

Выборочный коэффициент парной корреляции имеет следующие свойства:

1. .

2. Величина r_yxне изменяется при изменении начала отсчета величин, а также масштаба координатных осейyи х.

3. В величине r_yxодновременно заложена доля случайности и нелинейности связи междуyи х.

По величине и знаку r_yxможно сделать большинство выводов корреляционного анализа (табл. 6). Однако выводы корреляционного анализа можно делать только после доказательств равенства или отличия от нуля рассчитанного значенияr_yxметодами математической статистики (так называемая статистическая проверка нуль-гипотезы). С методами проверки нуль-гипотезыr_yxпознакомьтесь самостоятельно в [6,8].

Как следует из табл. 6, значение r_yxпозволяет сделать все выводы только в случае линейной зависимостиyот х. При нелинейных зависимостяхyот хзначениеr_yxоднозначно определяет только их знак, а для формулировки остальных выводов нужно анализировать и поле корреляции. Совместный анализr_yxи поля корреляции необходим в случае, когдаr_yx= 0 (r_yxявляется "незначимым").

Более сложные случаи корреляционного анализа возникают при влиянии на случайную величину (y) нескольких случайных величин (х₁, х₂, ...x_j). В такой ситуации анализируют выборочные коэффициенты частной и множественной корреляции. Анализ частных и множественных коэффициентов корреляции позволяет разобраться в ситуации, когда один из факторов не оказывает непосредственного влияния наy, хотя их парный коэффициент корреляции отличен от нуля.

Более подробно с особенностями проведения корреляционного анализа познакомьтесь самостоятельно в [6,8].

Таблица 6

Выводы корреляционного анализа в зависимости от значения r_yx

Выводы корреляционного анализа	Значения ryx
Наличие зависимости между yjиxz: есть	0< или ryx= 0 (при наличии доказательств анализом поля кор­реляции);
нет	ryx= 0 (при наличии доказательств анализом поля кор­реляции)
Характер и тип зависимости : "функциональная линейная"
"корреляционная линейная"	0<< 1
Знак связи: "положительный"	ryx >0
"отрицательный"	ryx<0
Теснота (сила) линейной корреляционной связи	Определяется близостью к единице модуля ryxи величинойNпо усмотрению исследователя