Теория функций комплексных переменных / Боярчук А.К. - Функции комплексного переменного. Теория и практика. Т. 4. М., Едиториал УРСС, 2001. - 352 с

Оглавление

Предисловие

3

Глава 1. Основные структуры математического анализа

4

§ 1. Элементы теории множеств и отображений

4

Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в

теории множеств (5) Натуральные числа. Метод математической

индукции (5) Простейшие операции над множествами (6)

Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) Бинарные

отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное

бинарное отношение (7) Функциональное бинарное отношение.

Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) Обратная

функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное

отображения (9) Изоморфизм (10)

§ 2. Математические структуры

10

Группа (10) Кольцо (10) Тело (10) Поле (11) Векторное пространство

над полем К. Нормированное пространство (11)

§ 3. Метрические пространства

12

Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического

пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые

множества (14) Внутренность множества (15) Замкнутые множества,

точки прикосновения, замыкание множества (16)

§ 4. Компактные множества

18

§ 5. Связные пространства и связные множества

70

§ 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического

20

пространства в другое

Предел и непрерывность отображения (20) Непрерывность

композиции отображений (21) Непрерывность обратного отображения

(22) Предел и непрерывность отображения в смысле Коши. Некоторые

свойства непрерывных отображений (22) Равномерно непрерывные

отображения (24) Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния (25)

Глава 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного

26

§ 1. Комплексные числа и комплексная плоскость

76

Определение комплексного числа (26) Аргумент комплексного числа.

Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и

деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из

комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства

(29) Примеры (31)

§ 2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных

43

чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте

Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок

и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных

чисел и ее предел (45) Свойства компакта K C (47) Предел и

непрерывность функции комплексного переменного (48)

Арифметические операции над пределами и непрерывными

функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49)

Свойства функций, непрерывных на компакте (50)

§ 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области

50

Примеры (53)

63

§ 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между

C-дифференцируемостью и R2 -дифференцируемостью.

Аналитические функции

Определение дифференцируемой функции. Правила

дифференцирования (63) Дифференциал функции (66) Критерий

дифференцируемости функции комплексного переменного (67)

Аналитические функции (68) Геометрический смысл производной

функции комплексного переменного. Понятие конформного

отображения (70) Плоские физические поля и их связь с

аналитическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры

(73)

Упражнения для самостоятельной работы

79

Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости

83

§ 1. Дробно-линейные функции и их свойства

83

Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения

(83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84)

Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) Примеры (88)

Глава 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки

197

§ 1. Ряд Тейлора

197

Общие сведения о рядах (197) Последовательность функций и

функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная

норма функции. Равномерная сходимость последовательности

функций и функционального ряда (199) Нормальная сходимость

функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле

равномерной сходимости функциональных рядов (201)

Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда

(203) Степенные ряды (206) Теорема Тейлора (208) Теорема

единственности (210) Примеры (212)

§ 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций

219

Теорема Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в

С (227) Поведение аналитической функции при подходе к

изолированной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая

точка (224) Примеры (225)

Упражнения для самостоятельной работы

229

Глава 6. Аналитическое продолжение

231

§ 1.

Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути

232

Свойство единственности аналитической функции. Определение

аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль

пути (234) Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути

относительно гомотопных деформаций этого пути (235)

§ 2.

Полные аналитические функции

237

Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полных

аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической

функции (239) Существование особой точки на границе круга

сходимости степенного ряда (240)

§ 3.

Принципы аналитического продолжения

240

Примеры (241)

Упражнения для самостоятельной работы

243

Глава 7. Вычеты и их применения

245

§ 1.

Определение вычета. Основная теорема

245

Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет

относительно бесконечности (246) Теорема о вычетах (247) Примеры

(248)

§ 2.

Целые и мероморфные функции

257

Целые функции (257) Мероморфные функции. Теорема Миттаг-

Леффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие

дроби (259) Примеры (262)

§ 3.

Бесконечные произведения

264

Числовые бесконечные произведения (265) Равномерно сходящиеся

произведение (26Р) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная

функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271)

§ 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов

274

Применение вычетов для вычисления определенных интегралов (274)

Применение вычетов к вычислению сумм рядов (278) Примеры (279)

Упражнения для самостоятельной работы

291

Глава 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории

295

аналитических функций

§ 1. Принцип аргумента. Теорема Руше

295

Вычисление интеграла

1

∫

ϕ(z) f ' (z)dz (295) Теорема о

2πi

∂D

f (z) − A

логарифмическом вычете (296) Принцип аргумента (296) Теорема

Руше (297) Примеры (298)

§ 2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции

300

Принцип сохранения области (300) Локальное обращение

аналитических функций (301) Примеры (303)

§ 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции

304

Принцип максимума модуля аналитической функции (304) Лемма

Шварца (305) Примеры (305)

§ 4. Принцип компактности. Функционалы на семействе аналитических

308

функций

Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства

функций (308) Принцип компактности (309) Функционалы,

определенные на множествах функций (310) Теорема Гурвица (311)

§ 5. Существование и единственность конформного отображения

312

Конформные изоморфизмы и автоморфизмы (312) Примеры

автоморфизмов (312) Существование и единственность изоморфизмов

областей, изоморфных единичному кругу (313) Теорема

существования (314)

§ 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном

315

отображении

Теорема о соответствии границ (315) Принцип симметрии (316)

Примеры (317)

§ 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля —

318

Шварца

Отображение верхней полуплоскости на многоугольник (318) Случай

многоугольника, имеющего вершины в бесконечности (322)

Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника

(322) Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник (323)

Эллиптический синус и его двоякая периодичность (324) Отображение

единичного круга на многоугольник (326) Примеры (328)

Упражнения для самостоятельной работы

332

Ответы

334

Гейне определение

—

лемма, 275, 7:59

— непрерывности отображения в

—

теорема, 52

точке, 21

Жуковского функция, 99, 318, 3:28,

— предела отображения, 21

3:72, 3:74, 3:87-93, 3:95, 3:97,

Гельдера условие, 179

3:99, 3:100, 3:101

главное значение

З

— аргумента комплексного числа, 28

замыкание множества, 16, 45

— интеграла типа Коши в точке, 179

знаки

гомеоморфизм, 25

— включения, 5

гомотопия

— принадлежности, 5

— замкнутой кривой в замкнутую

значение

кривую, 161

— аргумента комплексного числа

— кривой в кривую, 161

главное, 28

— с фиксированным началом и

— бесконечного произведения, 265

концом, 161

— интеграла типа Коши в точке

граница множества, 17, 45

— — главное, 179

график отображения, 8, 9

— — предельное слева от кривой, 180

группа,10

— — предельное справа от кривой, 180

— абелева, 10

— отображения, 9

— автоморфизмов области, 312

И

— аддитивная, 10

изоморфизм

— коммутативная, 10

— дробно-линейный, 87

— мультипликативная, 10

— конформный, 312

Гурвица теорема, 311

— множества на множество, 10

Д

интеграл

Д'Аламбера признак, 2:51

— Ньютона—Лейбница

действительная часть

— — определенный, 150

— комплексного числа, 27

— — с фиксированным нижним

— функции, 48

пределом и переменным верхним

деформация одной кривой в другую,

пределом интегрирования, 150

161

— в смысле главного значения по

диаметр множества, 14

Коши, 179

Дирихле

— Коши, 173

— теорема, 155, 203

— криволинейный функции по кривой,

— признак, 5:8, 5:11

159

дифференциал функции в точке, 66

— — второго рода, 159

дифференцируемость вектор-функции

— — первого рода, 159

на сегменте, 51

— Кристоффеля—Шварца, 320

длина в векторном пространстве, 11

— — второго рода, 321

долгота, 31

— — первого рода, 321

дополнение одного множества в

— типа Коши, 175

другом, 6

——, значение в точке

Ж

— — — главное, 179

Жордана

— — — предельное

— — — — слева от кривой, 180

аналитической на контуре

— — — — справа от кривой, 180

интегрирования, 168-170

— Шварца, 181

— — о вычетах, 247, 7:42, 7:47

— Эйлера—Пуассона, 191

——, обобщение на случай

— эллиптический первого рода, 323

неодносвязной области, 171-172

— — полный, 324

— формула интегральная, 172—173

1-интеграл, 153

— ядро, 179

n-интеграл, 154

Коши—Адамара

К

— теорема, 207

Кантора теорема, 18, 25

— формула, 5:10, 5:11, 8:6

Каратеодори теорема, 315

Коши—Римана условия, 67, 2:72, 2:73,

Кардана формулы, 2:41

2:75, 2:77-80

квантор

кривая

— общности, 4

— гладкая

— существования, 4

——, ориентация, 51

кольцо, 10

— — ориентированная, 51

— коммутативное, 10

— —, параметрическое представление,

— унитарное, 10

51

компакт, 18, 47

— — простая, 51

комплексная плоскость, 27

— жорданова, 51

комплексные числа, 27

— — замкнутая, 51

комплексный потенциал, 72, 2:83

— замкнутая, 51

композиция отображений, 9

— канторова, 52

компонента упорядоченной пары

— кусочно-гладкая, 52

— вторая, 7

— непрерывная, 51

— первая, 7

— ориентированная

компоненты связные, 52

— — противоположно по отношению

континуум, 52

к данной, 51

— линейный, 52

—, параметрическое представление, 51

контур, 160

— простая, 51

координата упорядоченной пары

— — замкнутая

— вторая, 7

— — —, внешность, 52

— первая, 7

— — —, внутренность, 52

Коши

Кристоффеля—Шварца

— интеграл, 173

— интеграл, 320

— критерий, 46, 198, 200

— — второго рода, 321

— — для функционального ряда, 201

— — первого рода, 321

— определение

— формула, 320, 8:22, 8:25

— — непрерывности отображения, 22

критерий

— — предела отображения, 22

— дифференцируемости функции f: C -

— теорема

> C 67, 2:79

— — интегральная, 166-167

— компактности в себе, 47—48

— — —, обобщение на случай

— Коши, 46, 198, 200

функции, не являющейся

— — для функционального ряда, 201

круг сходимости аналитического

— вполне ограниченное в метрическом

элемента, 233

пространстве, 18

круговое свойство дробно-линейных

—, граница, 17, 45

отображений, 85

—, диаметр, 14

Л

— жорданово

Лагранжа

— —, мера, 79

— ряд, 302

— —, площадь, 79

— теорема, 73

— замкнутое, 16, 45

Ландау символы, 11

— — связное, 45

Лапласа оператор, 178

—, замыкание, 16, 45

лемма

— значений отображения, 9

— Жордана, 275, 7:59

— компактное, 20

— Шварца, 305, 8:15-17

— — в метрическом пространстве, 18

леммы

— — в себе, 18, 47

— Паскаля, 5

— — относительно метрического

лемниската Бернулли, 59

пространства, 18

Линдедёфа результат, 316

— линейно-связное, 149

линейное пространство над полем, 11

—, образ при отображении, 9

линейность криволинейного интеграла,

— ограниченное, 14, 44

159

— определения отображения, 9

Лиувшля теорема, 178-179, 4:25

— открытое, 14, 45

Лопиталя правило, 7:8

— — связное, 45

Лорана теорема, 219-220

—, покрытие, 18

М

—, прообраз при отображении, 9

мера жорданова множества, 79

— пустое, 5

метод

— связное в метрическом

— математической индукции, 5-6, 2:53

пространстве, 20

— от противного, 4

— точек кусочно-гладкой кривой, 52

метрика, 12

— функций

— сферическая, 43

— — компактное

Миттаг-Леффлера теорема, 258-259,

— — — в данной области, 309

7:25, 7:27

— — — в себе, 311

мнимая часть

— — равномерно ограниченное внутри

— комплексного числа, 27

данной области, 309

— функции, 48

— — равностепенно непрерывное, 309

многочлен Тейлора, 156

— — внутри данной области, 309

множества

модуль

— изоморфные, 10

— в поле, 11

— непересекающиеся, 6

— в теле, 11

— равные, 5

— комплексного числа, 26

множество

Монтеля признак компактности, 309—

— внешних точек данного множества,

310

15

Морера теорема, 179

—, внутренность, 15

Муавра формула, 29, 2:17

Н

— — полной аналитической функции

направление обхода границы области

естественная, 237

положительное, 162

— отправления отображения, 8

непрерывность

— прибытия отображения, 8

— отображений взаимная, 25

— существования полной

— отображения, 21, 23

аналитической функции, 237

— — в точке, 23

образ множества при отображении, 9

— — — в смысле Гейне, 21

обращение отношения, 8

— — — в смысле Каши, 22

объединение множеств, 6

— — равномерная, 24

окрестность

— функции в точке, 48

— множества, 15

неравенство треугольника

— — открытая, 15

— для абсолютного значения, 11

— точки в множестве, 53

— для метрики, 12

δ-окрестность точки, 13

— для модуля, 11

ε-окрестность бесконечно удаленной

— для нормы (длины) в векторном

точки, 44

пространстве, 11

ε -окрестность точки, 44

норма

окружность Аполлония, 41

— в векторном пространстве, 11

оператор Лапласа, 178

— вектора, 11

операции над множествами, 6-7

— функции равномерная, 199

операция

— —, свойства, 199

— обращения отношения, 8

нуль функции, 212

— сложения комплексных чисел, 26

— кратности n, 212

— транспонирования отношения, 8

Ньютона—Лейбница формула, 150

— умножения комплексных чисел, 27

— для n-интеграла, 154—155

ориентация

О

— гладкой кривой, 51

области

— — противоположная, 51

— дробно-линейно изоморфные, 87

n-остаток ряда, 203

— конформно-изоморфные, 312

отношение

область, 20, 45

— бинарное

— бесконечносвязная, 53

— — между элементами множеств, 7

— замкнутая, 20, 45

— — обратное, 8

— значений отображения, 9

——, проекция

— компактная, 53

— — — вторая, 8

— многосвязная, 52

— — — первая, 7

— неодносвязная, 53

— — функциональное, 8

— односвязная, 53, 162

—, обращение, 8

— — относительно комплексной

—, транспонирование, 8

плоскости, 52

— отображение

— — относительно расширенной

— биективное, 9

комплексной плоскости, 52

— взаимно однозначное, 9

— определения

— гиперболическое, 125

— — отображения, 9