Теория функций комплексных переменных / Боярчук А.К. - Функции комплексного переменного. Теория и практика. Т. 4. М., Едиториал УРСС, 2001. - 352 с

—, график, 8, 9

Паскаля леммы, 5

— дробно-линейное

первообразная функции, 149

— —, нормальная форма, 125

— вдоль кривой, 165

— заданное параметрически, 9

— вдоль пути, 165

—, значение, 9

пересечение множеств, 6

— из множества в множество, 8

петля, 160

— конформное

Пикара теорема, 224

— — в области, 71

плоскость

— — в точке, 71

— комплексная, 27

— локсодромическое, 125

— — расширенная, 29

— множества в множество, 9

— экваториальная, 30

— множества на множество, 9

плотность, 179

—, множество значений, 9

площадь жорданова множества, 79

—, множество определения, 9

подмножество, 5

— непрерывное, 21, 23

— максимально связное, 52

— — в точке, 23

подпространство метрического

— — — в смысле Гейне, 21

пространства, 17

— — — в смысле Каши, 22

показательная форма записи

—, область значений, 9

комплексного числа, 28

—, область определения, 9

покрытие множества, 18

—, область отправления, 8

поле, 11

—, область прибытия, 8

— нормированное, 11

— обратимое, 9

полином Чебышева, 229

— обратное, 9

положительное направление обхода

— открытое, 301

границы области, 162

— — внутреннее, 301

полумеридиан, 31

— равномерно непрерывное на

полюс

множестве, 24

— северный, 31

— разрывное в точке, 21

— функции, 221

— эллиптическое, 125

— — простой, 221

отображения

— южный, 31

— взаимно непрерывные, 25

порядок

—, композиция, 9

— полюса, 221

отрезок

— связности, 53

— на комплексной плоскости, 45

— A -точки, 211

—, параметрическое представление, 45

— целой функции, 270

П

последовательность

пара упорядоченная, 7

— векторов

—, вторая компонента (вторая

— — фундаментальная, 12

координата), 7

— комплексных чисел

—, первая компонента (первая

— — бимонотонная, 202

координата), 7

— сходящаяся, 46

параллель, 31

— точек метрического пространства

параметр, 9

— — сходящаяся, 13

— — фундаментальная, 13

— натуральное, 51

— — (C, ρ), 45

— нормальное, 51

— функциональная, 198

— обобщенной непрерывной кривой,

— — поточечно сходящаяся к данной

52

функции, 198

— отрезка, 45

— — равномерно сходящаяся к данной

представления параметрические

функции на данном множестве,

экивалентные

199

— гладкой кривой, 51

— — равномерно фундаментальная,

— непрерывной кривой, 51

200

признак

— числовая, 9

— Вейерштрасса равномерной

— элементов множества, 9

сходимости

потенциал комплексный, 72, 2:83

функционального ряда мажорантный,

правила дифференцирования интеграла

201

— по верхнему переменному пределу

— Д'Аламбера, 2:51

интегрирования, 151

— Дирихле, 5:8, 5:11

— — по нижнему переменному

— компактности Монтеля, 309-310

пределу интегрирования, 151

— сходимости ряда необходимый, 198

правило

Прингсхейма теорема, 242

— дифференцирования произведения

принцип

функций, 65

— аргумента, 297

— Лопиталя, 7:8

— двойственности, 7

— перестановки пределов

— исключенного третьего, 4

интегрирования, 151

— максимума модуля, 8:8—10, 8:14

предел

— — вторая формулировка, 305

— отображения, 21

— — первая формулировка, 304

— — в смысле Гейне, 21

— непрерывности, 240—241

— — в точке в смысле Коши, 22

— однолистности, 303

— — частичный, 21

— симметрии, 317, 8:18, 8:19

— последовательности, 45

— — Романа—Шварца, 137, 241, 3:95

— — векторов в нормированном

— сохранения области, 300—301

пространстве, 11

продолжение функции, 9

— — точек в метрическом

— аналитическое, 232

пространстве, 13

проекция

— — частичный, 47

— бинарного отношения

— функции в точке, 48

— — вторая, 8

— — частичный, 48

— — первая, 7

— функциональной

— стереографическая, 30

последовательности

произведение

равномерный, 200

— бесконечное

представление параметрическое

— — Вейерштрасса, 268

— гладкой кривой, 51

— —, значение, 265

— естественное, 51

— — сходящееся, 265

— кривой,51

— — — абсолютно, 266

— — — равномерно в области, 267

— топологически эквивалентные, 25

— многочленов, 208

— эквивалентные, 25

— множеств

расширенная комплексная плоскость,

— — декартово, 7

29

— — прямое, 7

результат

— степенных рядов, 208

— Линделёфа, 316

1-производная, 153

— Шварца, 316

n-производная Ферма—Лагранжа

Римана

функции в точке, 156

— сфера, 30, 2:43-47

n + 1-производная, 153

— теорема, 314—315

производная вектор-функции, 50

Римана—Шварца принцип симметрии,

прообраз множества при отображении,

137, 241, 3:95, 3:97, 3:100, 3:102

9

род бесконечного произведения, 270

пространства метрические

Руше теорема, 297-298, 8:1, 8:3

гомеоморфные, 25

ряд

пространство

— Тейлора, 209

— банахово, 12

— Лагранжа, 302

— векторное

— Лорана функции в кольце, 220

— — над полем, 11

— мероморфных функций сходящийся,

— — нормированное, 11

258

— линейное над полем, 11

— — равномерно, 258

— метрическое, 12

— функциональный, 197, 198

— — полное, 13

— — степенной, 206

— — связное, 20

— — сходящийся нормально, 201

— нормированное полное, 12

— — сходящийся поточечно, 199

— топологическое, 45

— — сходящийся равномерно, 200

——, свойства, 45

— — удовлетворяющий равномерному

Пуанкаре теорема, 270

условию Коши, 201

Пуанкаре—Вольтерра теорема, 237

— Фурье, 7:30

Пуассона формула, 182, 4:8

— числовой, 197

Р

— — расходящийся, 197

равенство

— — сходящийся, 197

— множеств, 5

С

— упорядоченных пар, 7

свойства

радиус сходимости степенного ряда,

— аналитической функции, 69—70

206

— векторного пространства, 11

p -раздутие множества, 309

— нормы функции равномерной, 199

разность множеств, 6

— показательной функции, 28

расстояние

— стереографической проекции, 30

— индуцированное, 17

— топологического пространства, 45

— между точками метрического

северный полюс, 31

пространства, 14

ε-сеть множества, 18

— хордальное, 44

сечение

расстояния

— второе, 8

— первое, 8

— Больцано—Вейерштрасса, 47

символ

— Бореля—Лебега, 48, 2:60

— дизъюнкции, 4

— Вейерштрасса, 50, 204-205

— импликации, 4

— — о представлении целой функции

— конъюнкции, 4

в виде бесконечного

— отрицания, 4

произведения, 269

— эквивалентности, 4

— Виета, 2:21, 2:40, 2:41

символы Ландау, 11

— Гурвица, 311

синус эллиптический, 324

— Дирихле, 155, 203

след кусочно-гладкой кривой, 52

— Жордана, 52

сопряженное число, 27

— Кантора, 18, 25

Сохоцкого

— Каратеодори, 315

— теорема, 223—224

— Коши

— формулы, 181

— — интегральная, 166-167

спираль Архимеда, 40

— — — обобщение на случай

стереографическая проекция, 30

функции, не являющейся

—, свойства, 30

аналитической на контуре

структура математическая, 10

интегрирования, 168-170

сужение функции, 9

— — о вычетах, 247, 7:42, 7:47

— на множество, 9

— —, обобщение на случай

сумма ряда, 197

неодносвязной области, 171-172

— функционального

— Коши—Адамара, 207

— — поточечная на данном

— Лагранжа, 73

множестве, 199

— Лиувилля, 178-179, 4:25

— — равномерная, 200

— Лорана, 219-220

— — частичная, 198

— Миттаг-Леффлера, 258-259, 7:25,

— частичная, 197

7:27

сфера, 13

— Морера, 179

— Римана, 30, 2:43-47

— о биективных и непрерывных

Т

отображениях, 52

Тейлора

— о вычетах основная, 247, 7:42, 7:47

— многочлен, 156

— о дифференцируемости

— теорема, 209

произведения бесконечно малой

— формула с остаточным членом,

дифференцируемой функции и

записанным посредством n-

непрерывной функции, 64

интеграла, 156

— о достаточных условиях

Тейлора—Пеано формула, 157-158

— — равномерной сходимости

тело, 10

бесконечного произведения, 267

— нормированное, 11

— — существования первообразной в

теорема

круге, 162—163

— Абеля, 202

— о замене переменной

— — вторая, 207-208

интегрирования, 152

— — первая, 207

— о линейности

— алгебры основная, 298

— — интеграла, 151-152

— — операции дифференцирования,

Леано, 158

64

— об ограниченности компакта, 47

— — равномерного предела, 200

— Пикара, 224

— о логарифмическом вычете, 296

— Прингсхейма, 242

— о монодромии, 236

— Пуанкаре, 270

— о непрерывном образе компакта, 21,

— Пуанкаре—Вольтерра, 237

50

— Романа, 314-315

— о непрерывности

— Руше, 297-298, 8:1-3

— — дифференцируемой функции, 64

— Сохоцкого, 223-224

— — композиции

— Тейлора, 209

— — — отображений, 21

— Фреше, 19

— — — функций, 49

— Хаусдорфа, 19

— — нормы, 11

— Штольца, 2:50

— — обратного отображения, 22

тождество Абеля, 202

— — сужения отображения, 23

топология, 44

— о почленном интегрировании

— метрического пространства, 25

равномерно сходящегося

— относительная, 53

функционального ряда, 204

точка

— о пределе композиции функций, 49

— бесконечно удаленная, 29

— о производной

— кривой

— — n-интеграла по пределам

— — конечная,51

интегрирования, 155

— — кратная, 51

— — композиции, 63-64

— — начальная, 51

— — обратной функции, 65

— множества

— — частного, 65

— — внешняя, 15

— о равномерной равносходимости

— — внутренняя, 15, 45

функциональных рядов,

— — граничная, 17, 45

связанных преобразованием

— — изолированная,17

Абеля, 202

— предельная, 17, 45

— о равносходимости бесконечного

— особая

произведения и числового ряда,

— — аналитической функции, 239

265

— — изолированная, 221

— о среднем, 173

— — многозначного характера, 239

— о существовании первообразной

— — однозначного характера, 239

аналитической

— — устранимая, 221

функции, заданной в односвязной

— последовательности предельная, 47

области, 170—171

— прикосновения, 16, 45

— об инвариантности

— разветвления, 93, 239, 240

— — интеграла при гомотопиях пути

— — (n - 1)-го порядка, 93, 240

интегрирования, 166-167

— — алгебраическая, 93

— — симметричных точек при дробно-

— — — (n - 1)-го порядка, 93

линейном отображении, 86

— — бесконечного порядка, 93, 240

— об интегрировании по частям, 152

— — логарифмическая, 240

— об обращении формулы Тейлора—

— существенно особая, 221

— устранимого разрыва, 21

записанным посредством n-

A-точка функции, 211

интеграла, 156

— кратная, 211

— Тейлора— Пеано, 157—158

—, кратность, 211

— Шварца, 181

—, порядок, 211

формулы

— простая, 211

— Кардано, 2:41

точки

— Сохоцкого, 181

— метрического пространства, 12

— стереографической проекции

— симметричные

основные, 30, 2:43—47

— — относительно окружности, 85, 86

— Эйлера, 101, 7:23, 7:24

— — относительно прямой, 85

Фреше теорема, 19

траектория

функции

— гладкая

— аналитические равные, 237

— — простая, 51

— гиперболические, 101

— непрерывная, 51

— тригонометрические, 101

транспонирование отношения, 8

функционал, 310

тригонометрическая форма записи

— непрерывный на данном элементе,

комплексного числа, 28

310

трохоида, 60

функция

У

— авторморфная, 325

угол между путями в точке, 84

— аналитическая

упорядоченная пара, 7

— — в бесконечно удаленной точке,

уравнение деления круга, 35

219

условие Гельдера, 179

— — в замкнутой области, 69

условия Коши—Римана, 67, 2:72, 2:73,

— — в области, 68

2:75, 2:77-80

— — в точке, 68

утверждение Гаусса, 37

— — на бесконечности, 69

Ф

— — на кривой, 68

форма

— — на открытом множестве, 68

— Дробно-линейного отображения

— — на произвольном множестве, 68

нормальная, 125

— — полная, 237

— записи комплексного числа

— —, свойства, 69—70

— — показательная, 28

— Бесселя, 226

— — тригонометрическая, 28

— гармоническая в области, 177

формула

— гармонически сопряженная с

— Коши интегральная, 172—173

данной, 178

— Коши—Адамара, S:10, 5:11, 8:6

— голоморфная, 68

— Кристоффеля—Шварца, 320, 8:22,

— C-дифференцируемая, 67

8:25

— R -дифференцируемая, 67

— Муавра, 29, 2:17

— 1-дифференцируемая, 153

— Ньютона—Лейбница, 150

— n -дифференцируемая в точке в

— — для n-интеграла, 154—155

смысле Ферма—Лагранжа, 156

— Пуассона, 182, 4:8

— n+ 1-дифференцируемая, 153

— Тейлора с остаточным членом,

— дифференцируемая в точке, 63

— дробно-линейная, 83

— правильная, 220

— Жуковского, 99, 3:28, 3:72, 3:74,

Чебышева полином, 229

3:87-93, 3:95, 3:97, 3:99-101, 8:18

числа

— 1-интегрируемая, 153

— Бернулли, 215

— интегрируемая в смысле Ньютона—

— комплексные, 27

Лейбница, 150

число комплексное сопряженное

— кусочно-линейная, 45

данному, 27

— линейная, 66

член

— ломаная, 45

— ряда общий, 197

— мероморфная, 257, 271

— функционального ряда, 198

— — в области, 259

— функциональной

— моногенная, 65

последовательности, 198

— непрерывная в точке, 48

Ш

— неявная, 10

шар

— обобщенно-непрерывная, 50

— замкнутый, 13

— ограниченная на множестве, 50

— открытый, 13

— однолистная, 48

Шварца

— показательная, 28, 94

— интеграл, 181

— — общая, 98

— лемма, 305, 8:15-17

——, свойства, 28

— результат, 316

—, продолжение, 9

— формула, 181

— — аналитическое, 232

широта, 31

— степенная, 91

Штольца теорема, 2:50

— — общая, 97-98

Э

—, сужение

Эйлера

— — на множество, 9

— бета-функция, 328

— — с множества на множество, 9

— формулы, 101, 7:2?, 7:24

— тока, 72

Эйлера—Пуассона интеграл, 191

— целая, 257

элемент

— — бесконечного рода, 270

— аналитический, 232

— — конечного рода, 270

— группы

— — трансцендентная, 257

— — единичный, 10

— эллиптическая, 325

— — нейтральный, 10

Фурье ряд, 7:30

— — нулевой, 10

X

— — обратный данному, 10

Хаусдорфа теорема, 19

— канонический с центром в данной

Ц

точке, 233

циклоида, 60

Ю

— удлиненная, 60

южный полюс, 31

— укороченная, 60

Я

Ч

ядро

часть ряда Лорана

— Дирихле, 35

— главная, 220

— Хеши, 179