Теория функций комплексных переменных / Свешников А.Г., Тихонов А.Н. - Теория функций комплексной переменной. Выпуск 4

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакторов серии

8

Коши—Римана (30).

Предисловие к третьему изданию

9

2.

Свойства аналитических

Предисловие к первому изданию

10

функций (33).

Введение

11

3.

Геометрический смысл

Глава 1. Комплексная

производной функции

переменная и функции

комплексной переменной (35).

комплексной переменной

4.

Примеры (36).

§ 1. Комплексное число и

12

§ 5. Интеграл по комплексной

38

действия над комплексными

переменной

числами

1. Основные свойства (38).

1. Понятие комплексного числа

2.

Теорема Коши (41).

(12).

3.

Неопределенный интеграл

2. Действия над комплексными

(43).

числами (12).

§ 6. Интеграл Коши

46

3. Геометрическая

1. Вывод формулы Коши (46).

интерпретация комплексных

2.

Следствия из формулы Коши

чисел (14).

(48).

4. Извлечение корня из

3.

Принцип максимума модуля

комплексного числа (15).

аналитической функции (49).

§ 2. Предел последовательности

17

§ 7. Интегралы, зависящие от

51

комплексных чисел

параметра

1. Определение сходящейся

1. Аналитическая зависимость от

последовательности (17).

параметра (51).

2. Критерий Коши (19).

2.

Существование производных

3. Бесконечно удаленная точка

всех порядков у аналитической

(20).

функции (53).

§ 3. Понятие функции

21

Глава 2. Ряды аналитических

57

комплексной переменной.

функций

Непрерывность

§ 1. Равномерно сходящиеся

57

1. Основные определения (21).

ряды функций комплексной

2. Непрерывность (23).

переменной

3. Примеры (26).

1. Числовые ряды (57).

§ 4. Дифференцирование

30

2.

Функциональные ряды.

функции комплексной

Равномерная сходимость (58).

переменной

3.

Свойства равномерно

1. Определение. Условия

сходящихся рядов. Теоремы

Глава 6. Конформное

148

§ 2. Определение оригинала по

227

отображение

изображению

§ 1. Общие свойства

148

1. Формула Меллина (228).

1. Определение конформного

2.

Условия существования

отображения (148).

оригинала (231).

2.

Простейшие примеры (152).

3.

Вычисление интеграла

3.

Основные принципы (155).

Меллина (234).

4.

Теорема Римана (160).

4.

Случай регулярной на

§ 2. Дробно-линейная функция

163

бесконечности функции (238).

§ 3. Функция Жуковского

173

§ 3. Решение задач для линейных

241

§ 4. Интеграл Шварца—

175

дифференциальных уравнений

Кристоффеля. Отображение

операционным методом

многоугольников

1. Обыкновенные

Глава 7. Применение

184

дифференциальные уравнения

аналитических функций к

(241).

решению краевых задач

2.

Уравнение теплопроводности

§ 1. Общие положения

184

(245).

1. Связь аналитических и

3.

Краевая задача для уравнения

гармонических функций (184).

в частных производных (247).

2.

Сохранение оператора Лапласа

Приложение 1. Метод перевала

249

при конформном отображении

1. Вводные замечания (249).

(185).

2.

Метод Лапласа (258).

3.

Задача Дирихле (187).

3.

Метод перевала (259).

4.

Построение функции

Приложение 2. Метод Винера—

267

источника (190).

Хопфа

§ 2. Приложения к задачам

191

1. Вводные замечания (267).

механики и физики

2.

Аналитические свойства

1. Плоское установившееся

преобразования Фурье (271).

движение жидкости (191).

3.

Интегральные уравнения с

2.

Плоское электростатическое

ядром, зависящим от разности

поле (203).

аргументов (273).

Глава 8. Основные понятия

212

4.

Общая схема метода Винера—

операционного исчисления

Хопфа (278).

§ 1. Основные свойства

212

5.

Задачи, приводящие к

преобразования Лапласа

интегральным уравнениям с

1. Определение преобразования

ядром, зависящим от разности

Лапласа (212).

аргументов (283).

2.

Изображение элементарных

5.1. Вывод уравнения Милна

функций (216).

(283).

3.

Свойства изображения (218).

5.2. Исследование решения

4.

Таблица свойств изображений

уравнения Милна (287).

(226).

5.3. Дифракция на плоском

5.

Таблица изображений (226).

экране (290).

6. Решение краевых задач для

переменных (297).

уравнений в частных

3. Формула Коши (298).

производных методом Винера—

4. Степенные ряды (300).

Хопфа (291).

5. Ряд Тейлора (302).

Приложение 3. Функции многих 296

6. Аналитическое продолжение

комплексных переменных

(303).

1. Основные определения (296).

Приложение 4. Метод Ватсона

306

2. Понятие аналитической

Литература

314

функции многих комплексных

Предметный указатель

315

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абеля теорема 66

— — вторая 64

Алгебраическая форма комплексного

Ветвления точка 29

числа 13

Ветвь многозначной функции 29

Алгебры основная теорема 147

Винера — Хопфа метода общая

Аналитическая функция в области 32

схема 278

— — полная 109

Внешняя точка 21

— —, существование производных

Внутренняя точка 21

всех порядков 53

Вычет 123

Аналитических функций свойства 33

Вычет логарифмический 143

Аналитическое продолжение 94

— относительно бесконечно

— — непосредственное 110

удаленной точки 126

— — с действительной оси 79

Вычетов сумма на полной

— — соотношений 83

комплексной плоскости 127

— — с помощью степенных рядов

— теории основная теорема 125

103

Вычисление интегралов с помощью

— — через границу 97, 98

вычетов 128

Аналитической функции нули 74

— — от многозначных функций 138

— — особые точки 106

Вычитание комплексных чисел 13

— — риманова поверхность 91, 96

Гамма-функции асимптотическое

— — теорема единственности 75

разложение 258

Аргумент комплексного числа 14

Гармонической функции и

Асимптотическая формула

аналитической связь 184

полиномов Лежандра 264

Гаусса теорема 205

— — функций Ханкеля 263

Геометрическая интерпретация

Асимптотическое разложение 249

комплексных чисел 14

— — гамма-функции 258

— — функции комплексной

— — функции Хопфа 286

переменной 23

Бесконечно удаленная точка 20

Геометрический смысл производной

Бесконечнолистная функция 92

35

Бесселя функции 240

Гиперболические функции 81

Ватсона метод 306

Граница области 22

Вейерштрасса признак 60

Граничная точка 21

— теорема 62

Даламбера признак 58

Двуугольника отображение 171

Интегралы, зависящие от параметра

Действительная ось 14

51

— часть комплексного числа 12

—, — — — несобственные 65

Действия над комплексными

Интегральные уравнения с ядром,

числами 12

зависящим от разности аргументов

Деление комплексных чисел 13

267, 273, 282

Дирихле задача 187

Интегрирование изображения 224

— — для круга 188

Источник 195

— — — полуплоскости 189

Классификация изолированных

Дифракция на плоском экране 290

особых точек 115

Дифференцирование изображения

Комплексная переменная 21

224

— плоскость 14

Дробно-линейная функция 163

— — полная 20, 26

— — —, круговое свойство 165

Комплексное число 12

Естественная область существования

Комплексного числа алгебраическая

полной аналитической функции

форма 13

109

— — аргумент 14

Жордана лемма 132

— — модуль 14

Жуковского теорема 202

— — показательная форма 15

— функция 173

— — тригонометрическая форма 14

Запаздывания теорема 219

Комплексно сопряженные числа 13

Извлечение корня из комплексного

Комплексный потенциал течения 192

числа 15

— — электростатического поля 204

Изображение по Лапласу интеграла

Комплексных чисел вычитание 13

222

— — геометрическая интерпретация

— производной 221

14

— свертки 223

— — деление 13

— функции 215

Комплексных чисел

Изолированная особая точка 115

последовательность 17

Инверсия 27

— — равенство 12

Интеграл Дюгамеля 245

— — сложение 12

— контурный 41, 249

— — умножение 13

— Коши 48

Контур замкнутый 41

— неопределенный 43

Контурный интеграл 41, 249

— несобственный 40

Конформное отображение 36, 148

— по комплексной переменной 38

— — в бесконечно удаленной точке

— Шварца—Кристоффеля 175

152

— эллиптический 182

— —, взаимно однозначное

Интеграла главное значение 49

соответствие 155

— изображение 222

— — второго рода 151

— Меллина вычисление 234, 238

— —, основные принципы 155

— по комплексной переменной

— —, принцип симметрии 159

свойства 39

— —, соответствия границ 157

Сохоцкого — Вейерштрасса теорема

— особая 106

118

— — бесконечно удаленная 120

Сохранения углов свойство 36

— — изолированная 115

Среднего значения формула 49

— — устранимая 116

Степенная функция 103

— правильная 105

Степенные ряды 66

— разветвления 29

Стирлинга формула 250

— существенно особая 118

Сток 195

Точки критические течения 199

Сумма ряда функционального 59

— седловые поверхности 251

— — числового 57

Тригонометрическая форма

Существенно особая точка 118

комплексного числа 14

Существование производных всех

Тригонометрические функции 37, 79

порядков у аналитической

Трубка тока 192

функции 53

Уравнение Милна 283

Таблица изображений 226

Условия Коши — Римана 31

— свойства изображений 226

— существования изображения 212

Тейлора ряд 70

— — оригинала 231

— теорема 71

Факторизация 276, 279

Теорема Абеля 66

Формула вычисления вычета 125

— Вейерштрасса 62

— — коэффициентов степенного

— — вторая 64

ряда 68

— Гаусса 205

— Коши — Адамара 69

— единственности аналитических

— Меллина 228

функций 75

— среднего значения 49

— Жуковского 202

— Стирлинга 250

— запаздывания 219

— Чаплыгина 202

— Коши 41

— Эйлера 15, 87 Функции Бесселя

— —, вторая формулировка 42

240

— — для многосвязных областей 43

— геометрическая интерпретация 23

— Лиувилля 55

— гиперболические 81

— Морера 55

—, множество значений 23

— основная алгебры 147

— предел 24

— — теории вычетов 125

— производная 31

Теорема Рима на 160

— тригонометрические 37, 79

— Руше 146

Функция аналитическая в замкнутой

— смещения 225

области 106

—Сохоцкого—Вейерштрасса 118

— — в области 32

— Тейлора 71

— — многих комплексных

Точка бесконечно удаленная 20

переменных 84, 297

— вихревая течения 195

— — многозначная 96

— внешняя 21

— — полная 109

— внутренняя 21

— бесконечнолистная 92

— граничная 21