Крат. и криволин. интегр
..pdfФедеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика»
П.И. Гниломедов
Н.В. Казанцева
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Учебно-методическое пособие для студентов специальностей 190300 – «Подвижной состав», 190303 – «Электрический транспорт железных дорог», 190302 – «Вагоны»
Екатеринбург Издательство УрГУПС 2012
УДК 517 Г90
Гниломедов, П. И.
Г90 Кратные и криволинейные интегралы. : учеб.-метод. пособие / П. И. Гниломедов, Н. В. Казанцева – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2012. − 58, [2] с.
Пособие содержит теоретические сведения из разделов «Двойные, тройные и криволинейные интегралы» курса «Высшая математика». Рассмотрен ряд примеров практического характера, иллюстрирующих содержание каждого раздела, приведены задачи для самостоятельной работы студентов. Включены задания типового расчета, связанные с применением изученных методов интегрирования.
Предназначено для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов технических специальностей 190300 – «Подвижной состав», 190303 – «Электрический транспорт железных дорог», 190302 – «Вагоны».
УДК 517
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.
Авторы: П. И. Гниломедов, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика», канд. пед. наук, УрГУПС;
Н. В. Казанцева, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
Рецензенты: П. П. Скачков, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС;
А. Г. Кесарев, научный сотрудник лаборатории прочности ИФМ УрО РАН, д-р физ.-мат. наук
© Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2012
Оглавление |
|
ГЛАВА 1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ............................................................. |
4 |
1.1. Двойной интеграл и его вычисление двукратным |
|
интегрированием ................................................................................ |
4 |
1.2. Тройной интеграл и его вычисление трехкратным |
|
интегрированием .............................................................................. |
12 |
1.3. Механические и физические приложения кратных |
|
интегралов......................................................................................... |
17 |
ГЛАВА 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ......................................... |
26 |
2.1. Криволинейный интеграл 1-го рода ................................................ |
26 |
2.2. Криволинейный интеграл 2-го рода ................................................ |
30 |
2.3. Физические и геометрические приложения |
|
криволинейных интегралов.............................................................. |
35 |
Библиографический список ......................................................................... |
41 |
Варианты заданий типового расчета ............................................................ |
42 |
3
ГЛАВА 1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.1.Двойной интеграл и его вычисление двукратным интегрированием
Определение
Пусть в некоторой плоской области А задана функция f(x; y). Раздробим область А с помощью сетки на части (ячейки) (рис. 1) А1, А2.....
Аn с площадями F1, F2......Fn и диаметрами d1, d2,....dn. Обозначим через λ наибольший диаметр dk. Выберем в каждой ячейке Ak по точке (xk; yk) и вычислим в этой точке значение нашей функции.
y
…
А3
А2 Аk
А1
…
… А
0 |
x |
Рис. 1
Умножим найденное значение f(x; y) на площадь ячейки Fk. Най-
n
дем сумму таких произведений: σ = ∑ f (xk ; yk )Fk .
k =1
Измельчая дробление, найдем конечный предел: I = limσ.
λ→0
Этот предел называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области А и обозначается I = ∫∫ f (x; y)dxdy или I = ∫∫ f (x; y)dF .
A A
Сумма σ называтся интегральной суммой, или суммой Римана.
4
Геометрический смысл двойного интеграла
Если f (x; y) > 0, то ∫∫ f (x; y)dxdy =V , где V – объем тела Т, огра-
A
ниченного снизу плоскостью z = 0, сверху поверхностью z = f(x; y), а с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит контур фигуры А (рис. 2).
z |
z = f ( x ; y ) |
|
T
z
0 |
dy |
y
d x dF
x
Рис. 2
Вычисление двойного интеграла
Двойной интеграл вычисляется с помощью вукратного интегрирования.
|
b |
y2 |
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫dx ∫ f (x; y)dy . |
||
A |
a |
y1 |
Выражение, стоящее в правой части формулы, называется повторным (двукратным) интегралом. Для его вычисления необходимо по-
5
следовательно произвести два обыкновенных интегрирования, сна-
y2
чала найти внутренний интеграл ∫ f (x; y)dy , в котором аргумент x
y1
закреплен, а затем проинтегрировать функцию, зависящую уже только от x, между постоянными пределами a и b. При необходимости порядок интегрирования может быть изменен
|
d |
x2 |
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫dy ∫ f (x; y)dx. |
||
A |
c |
x1 |
Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования. Для экономии времени расчета следует выбирать такой порядок интегрирования, при котором нет необходимости разбивать область интегрирования на части.
В полярных координатах x = ρ cosφ, y = ρ sinφ:
|
β |
ρ2 (ϕ) |
I = ∫∫ f (ρcos ϕ;ρsin ϕ)ρdρdϕ = ∫dϕ ∫ ρf (ρcos ϕ;ρsin ϕ)dρ. |
||
A |
α |
ρ1 (ϕ) |
Пример. Вычислить двойной интеграл ∫∫xydxdy , если область D:
D
а) прямоугольник, ограниченный прямыми x = 0, x = 3, y = 0, y = 2; б) ограничена прямой y = x – 4 и параболой y2 = 2x;
в) верхняя часть круга x2 + y2 ≤ 4 ;
x2 + y2 ≤1 .
14
Решение (а)
Построим область интегрирования – прямоугольник (рис. 3). Гра-
|
|
0 |
≤ x ≤3, |
|
|
ницы области D определяются системой D : |
0 |
≤ y ≤ 2 . |
|
||
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
3 |
2 |
|
Тогда двойной интеграл равен ∫∫xydxdy = ∫∫xydx = |
∫xdx∫ydy . |
||||
D |
0 0 |
|
0 |
0 |
Проведем двукратное интегрирование, для этого вычислим внутренний интеграл, а затем найденное решение подставим во внешний интеграл
2 |
y |
2 |
|
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|
y |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
x |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ydy = |
|
|
|
|
= 2 → ∫xdx∫ydy =∫x |
|
|
|
|
dx = 2∫xdx = 2 |
|
|
|
|
|
|
=9. |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
y
2
D
0 |
3 |
x |
Рис. 3
Решение (б). Построим область интегрирования (рис. 4). Выберем постоянные пределы интегрирования на оси Ox.
y
4
y = 2x
D2y = x − 4
D1
0 |
2 |
8 |
x |
–2
у = − 2 х
Рис. 4
В этом случае область интегрирования необходимо разбить на две части D1 и D2 прямой, параллельной оси Oy, так как линия
7
нижней границы состоит из двух частей: кривой y = − 2x и прямой y = x – 4.
Найдем абсциссы точек пересечения, приравняв уравнения линий 2x = (x– 4)2 → x1 = 2; x2 = 8.
Тогда область интегрирования D = D1 + D2,
|
|
0 ≤ x ≤ 2, |
|
2 ≤ x ≤8, |
|
где D1 |
|
|
D2 |
|
|
: |
− 2x ≤ y ≤ 2x , |
: |
≤ y ≤ 2x . |
||
|
|
|
x −4 |
||
|
|
|
|
|
|
Двойной интеграл в данном случае выражается двумя двукратными интегралами.
∫∫xydxdy = ∫2 xdx |
∫2 x |
ydy +∫8 xdx ∫2 x ydy =90 . |
||
D |
0 |
− 2 x |
2 |
x −4 |
Заметим, что если постоянные пределы интегрирования выбрать на оси Oy, то интегрировать придется в другом порядке − сначала по x,
азатем по y.
Вэтом случае видно, что такой выбор постоянных пределов интегрирования является более удобным, поскольку разбивать область интегрирования не нужно (рис. 5).
y |
|
|
|
4 |
|
|
|
x = |
1 y 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
D |
x = y + 4 |
|
|
|
|
|
0 |
4 |
8 |
x |
–2
Рис. 5
8
Найдем ординаты точек пересечения, приравняв уравнения линий друг другу
1 |
y2 = y +4 → y = −2, y = 4. |
|
|
||
2 |
1 |
2 |
|
|
Тогда границы области D определяются системой
−2 ≤ y ≤ 4,
D : 1 y2 ≤ x ≤ y +4 .
2
В этом случае двойной интеграл по этой области выражается одним двукратным интегралом
4 y +4
∫∫xydxdy = ∫ydy ∫ xdx.
D |
−2 |
1 |
y2 |
|
|
2 |
Вычислим внутренний интеграл
y +4 |
|
x |
2 |
|
|
y +4 |
|
1 |
|
|
y |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
xdx = |
|
|
|
|
|
= |
( y +4)2 |
− |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
y |
2 |
2 |
|
|
1 |
y2 |
2 |
|
4 |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раскрыв скобки, подставим полученное выражение во внешний интеграл. Последовательное вычисление двукратных интегралов приводит к тому же результату
|
|
1 |
4 |
|
3 |
2 |
y5 |
1 y 4 |
|
8y3 |
2 |
y 6 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫∫ |
xydxdy = |
|
∫ |
y |
|
+8y +16y − |
|
dy = |
|
|
|
+ |
|
+8y − |
|
|
|
|
=90. |
|
2 |
|
|
4 |
2 |
|
4 |
3 |
24 |
|
|
|
|||||||
D |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение (в).
Построим чертеж области D (рис. 6, а). Поскольку область интегрирования ограничена окружностью, то удобно перейти в полярную систему координат.
Заменим в выражении x2 + y2 ≤4 знак неравенства на «равно», получим уравнение окружности (верхней границы области D) x2 + y2 = 4.
Подставив в это уравнение соотношения x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, запишем уравнение линии в полярной системе координат
ρ2 cos2 φ + ρ2 sin2 φ = 4 → ρ = 2.
9
Поскольку полюс расположен на границе области D, то для «нижней» границы уравнение линии ρ = 0. Из рисунка видно, что интервал изменения угла поворота луча составляет π радиан. Таким образом, границы области D определяются системой неравенств
0 |
≤ ϕ≤ π, |
|
D : |
0 |
≤ρ≤ 2 . |
|
а |
|
y |
|
|
б |
y |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D |
|
|
|
y = 2 1– x2 |
|
|
ρ |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
φ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
–2 |
|
0 |
|
2 |
x |
–1 0 |
1 |
x |
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
Двойной интеграл функции в полярной системе координат примет вид |
||||||||
∫ρ3 cos ϕsin ϕdρdϕ= ∫π cos ϕsin ϕdϕ∫2 |
ρ3dρ = 4∫π cos ϕsin ϕdϕ= 2∫π sin 2ϕdϕ= 0. |
|||||||
D |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
Решение (г). Построим чертеж области D (рис. 6, б). Выберем постоянные пределы интегрирования на оси Ox (абциссы самых крайних точек области слева и с права: x = 0, x = 1). Найдем пределы интегрирования внутреннего интеграла, для этого выразим у из уравнения эл-
липса: y = 2 1 − x2 – верхняя граница и y = 0 – нижняя граница. Тогда система, определяющая границы области
0 ≤ x ≤1,
D :
0 ≤ y ≤ 2 1 − x2 .
Проведем двукратное интегрирование – внутренний интеграл по y, затем внешний интеграл по x
|
1 |
2 1−x2 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
∫∫xydxdy = ∫xdx |
∫ |
ydy = ∫x 2(1 − x2 )dx = − |
(1 − x2 ) |
= |
. |
||||
|
|
||||||||
D |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
2 |
|||
|
|
|
|
10