Крат. и криволин. интегр.

Из рисунка видно, что интервал изменения угла поворота луча

4. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями: y = 3x, y =3 3x, x + z = 3, z = 0.

Решение. Построим пространственную область V, ограниченную

x

Рис. 12

21

Границы выделенной области определяются системой

5.Найти объем тела V, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 + z 2 = = R 2, z2 = x 2 + y 2, (z ≥ 0).

Решение. Преобразуем второе уравнение:

z2 = x2 + y2 → z = ± x2 + y2 .

Это уравнение определяет поверхность конуса, образующие ко-

торой образуют осью Oz угол θ = π радиан.

4

Уравнение x 2 + y 2 + z 2 = R 2 определяет сферическую поверхность с центром в точке O(0; 0) и радиусом R . Построим пространственную область V (рис. 13) и перейдем в сферическую систему координат.

z

R

ρ•

θ

0

R x

Рис. 13

22

Используем соотношения: x = ρ sinθ cosφ, y = ρsinθsinφ, z = ρcosθ. Из рисунка можно определить систему неравенств, описывающих об-

0 ≤ρ≤ R .

Составим тройной интеграл и вычислим объем тела

ππ

6. Найти массу плоской неоднородной пластинки, ограниченной линиями: y = x 2, x = 0, y = 1. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры равна удвоенному расстоянию от оси Оy.

Решение

Построим чертеж фигуры D (рис. 14).

y

1

2x

•

Рис. 14

Границы заштрихованной области

0 ≤ x ≤1,

D :

2 ≤ ≤x y 1.

23

Из условия получим функциональное выражение для плотности γ = 2x.

Составим двойной интеграл и вычислим массу плоской пластинки

7. Найти массу, координаты центра тяжести неоднородного куба, моменты инерции относительно оси Ox и координатной плоскости xOy. Грани куба заданы координатными плоскостями и плоскостями x = 1, y = 1, z = 1. Объемная плотность куба в каждой точке равна произведению ее координат γ(x; y; z) = xyz.

Решение. Сделаем чертеж тела V (рис. 15), оно представляет собой куб, расположенный в первом октанте с ребром, длина которого равна единице.

z

1

1

x

Рис. 15

Из рисунка видно, что все пределы интегрирования – постоянные. Найдем массу тела

Определим координаты центра тяжести

24

Момент инерции относительно оси Ox находим по формуле

1 1 1

J x = ∫∫∫( y 2 +z 2 )γdxdydz = ∫dx ∫dy ∫( y 2 +z 2 )xyzdz =

Момент инерции относительно плоскости xOy находим по формуле

Задания для самостоятельной работы

1. Найти площадь плоской фигуры D, ограниченной линиями

4. Найти массу однородной плоской пластинки, ограниченной

3

5. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 6.

(Ответ: C 3; 3; 3 .)2 2 2

25

ГЛАВА 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Криволинейный интеграл 1-го рода

Определение

Пусть вдоль гладкой кривой L расположены массы с известной линейной плотностью (рис. 16). Определим массу m кривой L. Меж-

ду концами А и В кривой вставим произвольно ряд точек А = А0, А1,...

Аn–1, An = B. Возьмем какую-нибудь точку M [Ai, Ai+1], плотность

в этой точке γ(Mi). Приближенно считая, что плотность на участке

Рис. 16

Рассмотрим предел такого рода для произвольной функции f(M) = f(x; y), определенной на кривой L. Разобъем эту кривую L

26

на элементарные дуги, выберем на каждой из них некоторую точку

го l < δ, и для любого выбора промежуточных точек М выполняет-

ся неравенство WI(Ai; Mi) – I W < ε.

Если существует предел lim I ( Ai ;Mi ) = I , то число I называется

l →0

криволинейным интегралом первого рода от функции f(x; y) по кривой L и обозначается ∫ f (x; y)dl .

L

Если кривая L незамкнутая и точки А и В ее концы, то криволинейный интеграл первого рода обозначается следующим образом:

∫ f (x; y)dl .

AB

Из определения следует, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А до В или от В до А) пробегается кривая L:

∫ f (x; y)dl = ∫ f (x; y)dl.

AB BA

Криволинейные интегралы 1-го рода обладают всеми свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла: линейность, аддитивность, модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции. Справедлива также формула среднего значения.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Во многих случаях вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к нахождению некоторого обыкновенного определенного интеграла.

Если кривая L задана параметрическими уравнениями x = x(t) и y = y(t), где p ≤t ≤q, тогда длина dl элементарной дуги кривой равна

dl = (xt ')2 +( yt ')2 dt,

а криволинейный интеграл выражается обыкновенным определенным интегралом по следующей формуле:

q

∫ f (x; y)dl = ∫ f (x(t); y(t)) (xt ')2 +( yt ')2 dt.

L p

27

Если кривая L имеет явное задание y = y(x), где a ≤x ≤b, тогда криволинейный интеграл вычисляется по следующей формуле:

Если кривая задана уравнением в полярных координатах ρ = ρ(φ), где α ≤ φ ≤ β, тогда криволинейный интеграл вычисляется по следующей формуле:

β

∫ f (x; y)dl = ∫ f (ρ;ρ(ϕ)) ρ2 +(ρϕ ')2 dϕ.

Lα

Для случая пространственной кривой L при параметрическом задании кривой уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t) где p ≤ t ≤ q, длина dl элементарной дуги кривой равна

dl = (xt ')2 +( yt ')2 +(zt ')2 ,

а криволинейный интеграл выражается обыкновенным определенным интегралом по следующей формуле:

q

∫ f (x; y; z)dl = ∫ f (x(t); y(t); z(t)) (xt ')2 +( yt ')2 +(zt ')2 dt.

L p

Примеры

Решение. Введем полярные координаты x = ρcosφ, y = ρsinφ. Тогда уравнение окружности примет вид x2 +y2 =ax →ρ2 =aρcosφ →ρ = acosφ, а элемент дуги dl = ρ2 +ρ′ϕ2 dϕ= a2 cos2 ϕ+a2 sin2 ϕdϕ= adϕ.

28

Следовательно,

ππ

3. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫ye−x dl , где L –

L

дуга линии x = ln(1 + t 2), y = 2arctgt – t, описываемая при изменении t от 0 до 1.

Решение. Будем использовать формулу для кривой, заданной па-

Задачи для самостоятельной работы

1. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(4 3 x −3 y )dl :

2. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫(x − y)dl меж-

29

2.2. Криволинейный интеграл 2-го рода

Определение

Пусть функция f(x; y) определена на кривой L, имеющей концы А и В. В отличие от криволинейных интегралов 1-го рода кривая АВ рассматривается как направленная линия (рис. 17).

Пусть А – начало, а В – конец этой кривой. Разобьем кривую L

точками A = A0, A1,...An–1, An = B в направлении от А к В. На каждой дуге AkAk–1 выберем по точке (xk; yk) и составим сумму:

n

∑ f (xk ; yk )(xk − xk −1 ).

k =1

Предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшей из дуг AkAk–1 называется криволинейным интегралом второго рода по координате x и обозначается через ∫ f (x; y)dy .

AB

Здесь в отличие от криволинейного интеграла 1-го рода важен по-

ремене направления линии, криволинейный интеграл второго рода меняет знак.

30