Цель работы:

Изучить алгоритм метода наименьших квадратов, получить практические навыки при аппроксимации таблично заданных функций многочленами различных степеней.

Перечень оборудования:

Ноутбук Acer Celeron(R) с процессором 2 ГГц, мышь оптическая беспроводная, принтер лазерный SAMSUNG ML-2015.

Перечень программного обеспечения:

Microsoft Word, Microsoft Excel, Napoli.

Задание: В результате ударных испытаний полувагона модели 12-119 получили данные, устанавливающие зависимости между силой удара P, кН и скоростью соударения V, м/с. Скорость изменяется от 1 с шагом 1,5. Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

V, м/с	1	2,5	4	5,5	7	8,5	10	11,5	13
Р, кН	661	753	1392	1691	2000	2910	3220	3300	4205

1. Теоретическая часть

Для обработки экспериментов, результаты которых заданы таблично, очень часто встает вопрос о замене истинной зависимости F(х) некоторой приближённой Z(x). В зависимости от цели приближения используют либо интерполяцию (точечную аппроксимацию), либо аппроксимацию. Интерполирование состоит в приближённой замене функции F(x), заданной таблично, функцией Z(x), которая принимает те же значения, что и функция F(x).

Простейшим видом интерполяции является линейная, когда функция F(x) на участке между узлами интерполяции заменяется прямой. В общем случае функция F(x) заменяется кривой Z(x), которая проходит через все узлы интерполяции одновременно.

Аппроксимация – это замена таблично заданной функции F(x) функцией Z(x), которая на рассматриваемом отрезке имеет ограниченное отклонение от функции F(x).

Для аппроксимации данных обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). В качестве аппроксимирующей функции F(x) по методу наименьших квадратов используют многочлен вида:

, (1)

где а₀, а₁, а₂, …., а_m – коэффициенты полинома,

m – степень аппроксимирующего многочлена.

Суть метода наименьших квадратов: требуется найти такую аналитическую зависимость Z(x_i), график которой проходит близко к заданным точкам, т.е. отклонения в этих точках будут ограничены. Отклонения рассчитываются по формуле:

(2)

В случае среднеквадратической аппроксимации среди многочленов m-степени необходимо найти такой вид, когда мера отклонения S минимизируется. Мера отклонения находится по формуле:

(3)

Среднеквадратическую погрешность вычисляют по формуле:

(4)

Практическая часть

Открываем программу Napoli и производим ввод данных: вводим «Число точек в таблице», «Начальное значение аргумента», «Шаг аргумента». Заходим в меню «Редактирование таблицы»,вводим значения Р и получаем график.

Рисунок 1 – График исходных данных

После чего выходим в меню Napoli и заходим в «Аппроксимация», вводим «Степень полинома» и«Дробление шага», и получаем график и коэффициенты полинома.

Уравнение аппроксимируемой функции полиномом первой степени будет выглядеть следующим образом:

z(V) = 160,84 + 296,58*V₁ (5)

Заносим данные из таблицы 1 и уравнение аппроксимируемой функции (5) в электронные таблицы Microsoft Excel. После чего, рассчитываем E_i, E_i², S, E (см. таблица 2) и строим графики исходных данных f(V) и аппроксимируемой функции z(V) (см. рисунок 1).

Таблица 2 - Исходные данные и данные, полученные в результате расчетов

при аппроксимации полиномом степени 1

Отклонения:

E_i = P – z(V)

E₁ = 661 – 457,42 = 203,58

E₂ = 753 – 902,29 = -149,29

E₃ = 1392 – 1347,16 = 44,84

E₄ = 1691 – 1792,03 = -101,03

E₅ = 2000 – 2236,9 = -236,9

E₆ = 2910 – 2681,77 = 228,23

E₇ = 3220 – 3126,64 = 93,36

E₈ = 3300 – 3571,51 = -271,51

E₉ = 4205 – 4016,38 = 188,62

Сумма отклонений:

Среднеквадратичная погрешность:

Рисунок 2 – График аппроксимируемой функции z(V) полиномом степени 1 и график исходных данных P = f(V)

Аналогичные действия выполняются для аппроксимации функций полиномами второй, третей, четвертой и пятой степеней.

Уравнение аппроксимируемой функции полиномом второй степени будет выглядеть следующим образом:

z(V) = 316,31 + 232,56*V₂+4,5724* V₂ ²

Таблица 3 - Исходные данные и данные, полученные в результате расчетов

при аппроксимации полиномом степени 2

Рисунок 3 – График аппроксимируемой функции z(V) полиномом степени 2 и график исходных данных P = f(V)

Уравнение аппроксимируемой функции полиномом третей степени будет выглядеть следующим образом:

z(V) = 431,85 + 144*V₂ +20,013* V₂ ² – 0,73525* V₃ ³

Таблица 4 - Исходные данные и данные, полученные в результате расчетов

при аппроксимации полиномом степени 3

Рисунок 4 – График аппроксимируемой функции z(V) полиномом степени 3 и график исходных данных P = f(V)

Уравнение аппроксимируемой функции полиномом четвертой степени будет выглядеть следующим образом:

z(V) = 847,8 – 332,47*V₄ +163,34* V₄ ² – 16,348* V₄ ³+0,5576* V₄ ⁴

Таблица 5 - Исходные данные и данные, полученные в результате расчетов

при аппроксимации полиномом степени 4

Рисунок 5 – График аппроксимируемой функции z(V) полиномом степени 4 и график исходных данных P = f(V)

Уравнение аппроксимируемой функции полиномом пятой степени будет выглядеть следующим образом:

z(V) = 142,39 +719,14*V₅ -297,64* V₅ ² +66,849* V₅ ³-6,0044* V₅ ⁴ +0,18749* V₅ ⁵

Таблица 6 - Исходные данные и данные, полученные в результате расчетов

при аппроксимации полиномом степени 5

Рисунок 6 – График аппроксимируемой функции z(V) полиномом степени 5 и график исходных данных P = f(V)

При дальнейшем увеличении степени полинома происходит нарушение прямой зависимости между силой удара Р и скоростью соударения V. Поэтому заканчиваем процесс аппроксимации на пятой степени полинома.

Вывод:

В ходе работы был изучен алгоритм метода наименьших квадратов, выполнена аппроксимация таблично заданной функции многочленами различных степеней. Чем больше степень полинома, тем меньше отклонения функции z(V) от P = f(V).

В данной работе для аппроксимации функции выбраны полиномы степени 1, 2, 3, 4, 5. При аппроксимации функции полиномом степени 1 среднеквадратическая погрешность равна 54970,17, при аппроксимации полиномом степени 2 – 51920,47, при аппроксимации полиномом степени 3 - 51068,1, при аппроксимации полиномом степени 4 - 46276,95, при аппроксимации полиномом степени 5 - 41584,47.

В результате проведенных вычислений выбираем график аппроксимируемой

функции степенью полинома 5, т.к. именно на этом графике наиболее четко прослеживается физический смысл ударных испытаний полувагона модели 12-119, устанавливающих зависимости между силой удара P, Н и скоростью соударения V, м/с.