Шпоры по ТерВер не те

21. Дисперсия СВ и ее св-ва.

27.Выражение ф-ии распед-я НСВ через ф-ю Лапласа.

29.Неравенство Чебышева

33.Ген.и выб.сов-ти ДВР и ИВР.

34.Выборочной (эмпирической) функцией распределения

На практике встречаются СВ, имеющие одинак-е мат.ожидания. У одних из этих СВ откл-е от мат.ожидания – невелико, а у др. – значительнее. Для оценки меры рассеивания СВ Х около ее мат.ожидания М(Х) водят понятие дисперсии.

Дисперсией СВ Х наз-ся величина D(X)=M(X-M(X))²

Ср.квадратич. отклонением СВ Х наз-ся величина σ (Х)= D(X)^1/2

Св-ва дисперсии:

1. D(X±Y)=D(X)+D(Y) – независимые СВ X,Y

2. Если X=C – СВ, принимающая постоянные значения, то D(C)=0

D(C)=M(C-M(C))²=M(C-C)²=M(0)=0

3. D(C*X)=C²*D(X)

4. D(X)=M(X²)-M²(X)

5. D(X-M(X))=D(X)

1) Распределение N(0;1) наз-ся станд-ным нормальным..Для стандартного распред-я плотность вер-ти равна: , а ф-я распред-я .

Ф-я Лапласа и ф-я распред-я НСВ Х с параметрами связаны соотнош-м: .

2)Получим формулу д/вычисления вер-ти попадания НСВ с параметрами в задан. интервал(α;β) через стандарт-е распред-е :

3)3σ Вер-ть того, что НСВ отклоняется от своего мат.ожид-я по модулю меньше, чем ε>0, определяется формулой . Если положить , то получим .

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений НСВ в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений Х нет таких, кот. выходят за пределы указанного интервала. Правило 3-х сигм часто применяется д/грубой оценки сигма: .

Если Х-СВ, мат. ожидание к-рой М(Х) = а, а дисперсия D(Х) конечна, то д/любого числа ε > 0 выполняются неравенства:

При неизв-ом з-не распред-я на практике при известных М(Х),D(X) участком возможных значений СВ Х считают М(Х)±3σ(Х)

Мат. Ст-ка занимается установлением закономерностей, к-рым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки стат. данных, полученных в результате наблюдений.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки: повторная и бесповторная. Выборка должна правиль-но представлять пропорции ген.сов-сти, то есть быть репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем д/любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова.

Вариационный ряд наз-ся ряд вариант расположенных в порядке возрастания вместе с соответствующими весами если изуч.ДСВ то ДВР.

Полигон –ломаная соединяющая точки плоскости с координатами (х,mi)

Кумулянта- ломаная соед точки плос-ти с корд-ми(x,mxi)

Гистограмма –для изобр.вар.рядов и имеют вид ступ фигурыиз прямоуг.с основ.=длина инт-ла и высотами=частотам.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

, (15.1)

где m_х – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

35.Выб.дисперсия и ее св-ва ,ср.арифметич.

23.Закон распред-ия Пуассона

16.НСВ и их числ. хар-ки

1.Комбинаторика(размещение , сочетание)

36.Точечные оценки параметров

Ср.арифметич:

Выборочной дисперсией называется

,

а выборочным средним квадратическим отклонением –

Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии:

.

- медиана т_е - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно ( n = 2k + 1 ), то m_e = x_k+1, а при четном n =2k . В

Другими характеристиками вариационного ряда являются:

- мода М₀ – варианта, имеющая наибольшую частоту

Говорят что СВ распределена по з-ну Пуассона если она принимает целые значения с вер-ми

где λ-параметр распределения

M(X)=λ

D(X)=λ

Т.к. для распред. Пуассона вер-ть появления события в каждом испытании мала то его еще назыв. з-н распред. редких явлений.

28.Неравенство Маркова

Если СВ Х принимает только неотрицат. значение то для любого α>0 справедливо неравенство:

НСВ- св которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интнрвала.

Геом.смысл: абсцесса центра тяжести криволин. трапеции огранич. графиком кр. распред-ия полигоном распред для ДСВ и Ох.

D(X)=M(X-M(X))²

σ (Х)= D(X)^1/2

D(X)= M(X)²-M²(X)

32. Понятие о ЦПТ

Была доказана в 1900г Дяпуновым. Если независ СВ Х1…Хn имеют конечные мат ожидания а1…аn и абс.центр. моменты 3-го порядка

Ивыполнено условие Ляпунова

то распределение суммы СВ стремиться к нормальному с параметрами

При решении вер.задач часто приходится в заданном мн-ве выбирать подмн-ва Эл-ов к-ые обладают опред.св-ми.Поскольку в таких задачах идет речь про те или иные комбинации объектов то они-комбинаторные.

Пусть некоторое мн-во А содержит n Эл-ов.Каждое его упоряд.подмн-во состоящее из k Эл-ов назыв размещением из

n по k.

Размещение из n по n назыв. перестановкой

и =n!

Неупоряд под-мнвоназыв. сочетанием

Выборочная хар-ка используемая в качестве приближ. значения неизв. ген. хар-ки наз-ся ее точечной стат. хар-ой.

Слово точечная означает что оценка представляет собой точку на числ. оси. Слово статистич. означ. что конкр. значения оценки рассчитываются по рез-ам наблюдений. Пусть θ неизв. параметр ген. сов-ти. Мы хотим оценить этот параметр по выборке т.е.предл. формулу

θn=f(x1..xn)

которая наилучшим образом оценивает