Шпоры по ТерВер не те

15.ДСВ и их числ. хар-ки

38.МоментыСВ.Ассиметрия и эксцесс.

30. Закон больших чисел в форме

теоремы Чебышева

24.Равном.распред.Матем. ожидание

и дисперсия случ величины.

22.Биноминальный закон распр-ия

Дискретной назыв. такую СВ множество значений которой конечно или счетное.Пусть ДСВ Х может принимать зн-ия х_{1 ,}х ₂…х _{n .} Обозначим р_i =Р(Х=Хi), i=1,n. Закон распределения ДСВ задается таблицей распределения или рядом распределения:

х_i х₁ х₂ …. х_n

р_i р₁ р₂ ..… р_n

Графич.изображение ряда распределения назыв.полигоном распред. СВ. Основные хар-ки ДСВ мат.ожидание и дисперсия.

Моментом n-го порядка Х по отн-ию к знач-ию а M_n(a)=M(X-a)ⁿ, а=0-начальный момент ύ_n

ф=Ь(Ч)-центральный μ_n

Для ДСВ: ύ_n=

Для НСВ: ύ_n=

Можно показать что справедлива формула:

μ_n=

μ₂₌ύ₂-ύ₁²

μ₃=ύ₃-3ύ₂ ύ₁+2ύ₁²

μ₄=ύ₄-4ύ₁ ύ₃+6ύ₁² ύ₂-3ύ₁⁴

На практике при изуч. распределения отличного от норм. необх. колич. оценить эти различия для этого вводятся вспомог.числ. хар-ки

ассиметрия и эксцесс.Центр.

момент 3-го порядка μ₃ характ-ет отклонение распределения СВХ от симметрии относит. мат.ожид.За меру этого отклонения берут число:

α = μ₃/σ³(х)-коэф.ассиметрии.

Ассиметрия всех распред-ий графики которых симметр. относит.прямой х=а=М(х) равна 0. Центр.момент 4-го порядка μ₄ служит для хар-ки крутости распред-ия СВ Х по сравнению с крутостью распред-ия НСВ с мат.ожид.и дисп. такими же как и у Х.За меру этой крутости берут число: χ = [ μ₄/σ⁴(х) ] -3

Если случайные величины Хi, i=1,2…,n,

независимы и одинак. распределены со

средними МХi =a и дисперсиями DXi =DX,

то справедлива теорема Чебышева:

n

P(|1/n сумма ( Xi) - a | <= e ) >= 1- DX/ne*e

i=1

Из этого неравенства при n стр-ся к беск-ти

следует закон больших чисел

n

limP(|1/n сумма (Xi )- a| <=e)=1

n-& i=1

Смысл закона закл . в том, что средние значения

случайных величин стремятся к их мат. ожиданию

при n- & по вероятн. Отклонение средн. значений

от мат.ожидания стан-ся сколь угодно малым с

вероятностью, близкой к 1, если n достаточно

велико или вероятность любого откл. средн. знач.

от а сколь угодно мала с ростом n.

(e – это эпсилон.)

Непр. случ. велич.х распред. равномерно на

отрезк [а;b], если её плотность вероятности

р(х) постоянна на этом отрезке и =0 вне его:

1/ (b-a), а< =х<=b

Р(х)= {

О, х<а, х>b

Функция распред. случайн. величины, расп-

ред-ой по равномерн. закону, имеет вид:

O, x<=a

F(x)= { (x-a)/(b-a), a<x<=b

1, x>b

График р(х) иF(х)на рис

Мат. ожидание и дисперсия равн. случ.

величины:

МХ=(а+b)/2; DХ=(b-а)( b-a)/ 12

Пусть проводится n независимых испытаний. В результате каждого из которых возможны 2 исхода: А – успех с вероятностью p, или - неуспех с вероятностью q = 1-p. Тогда вероятность числа m успех

Дискретная случайная величина X, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностямиP (X=m)= , где p>0, q>0, m 0,n называется распределенной по биноминальному закону с параметром p.

Мат.ожидание M(X)= np

Дисперсия

D(x)=

- среднее квадратическое отклонение

8. Теор. умнож. д/произв. числа событий.

20.Матожидание ДСВ и НСВ.

31.Теорема БЕРНУЛЛИ

11. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

18. Функция распред-ия ДСВ

Вероятность наступления n событий А1,А2,Аn=произведению вертностей одного из них на условную вероятность каждого последующего события, вычисленного в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

P(A1,A2…An)=P(A1)*P(A2/A1)*P(A3/A1*A2)*…P(An/A1*A2*…*A_n-1)

События А и В независимы тогда и только тогда, когда вероятность события AB ровна произведению вероятностей событий А и В.

свойства независимых событий:1.если соб.-ия А и В нез.-ы, то А и независимы.

2.если соб.-ия А и В нез.-ы, то и независимы.

Мат. ожид-ем СВ Х наз. ∑ по всем исходам знач-й СВ Х, умн-х на их вер-ти:

M(Х)=∑ Х(ω)∙p(ω). В случае непр-й СВ ∑ замен-ся ее обобщением

Мат. ож-м ДСВ Х, заданной рядом распред-я в общем виде (х₁...х_n)/(p₁…p_n) наз. число

М.О. НСВ с плотн-ю распр-я f(х) наз. число

Геометрический смысл М.О.: М(Х) – это абсц-са центра тяжести криволин-й трап-и, огран-ной граф-м кр. распр-я (полигоном распр-я для ДСВ) и осью ОХ.

Св-ва М.О.:

1. Если Х=С=const - СВ, приним-я пост-е знач-е С, то М(С)=С

2. М(С∙Х)= С∙М(Х), С - const

3.М(ХУ)=М(Х)М(У),Х, У

4. М(Х∙У)=М(Х) ∙ М(У) – незав-е СВ

5. М(Х-М(Х))=0, где М(Х) – число при люб. Х

СВ Х - М(Х) наз. отклонением СВ Х от ее М.О.

Теорема Бернулли:

Если вер-ть наст-я соб-я А в каж-м из n повторных нез-х испыт-й пост-на, то при неогран-м увел-ии числа n исп-й отн-я частота наст-я соб-я А стрем-ся по вер-ти к числу p, т.е. для >0

Т-ма Б-ли явл-ся теор-ким обосн-ем для стат-го опр-я вер-ти.

Неравенство Бернулли:

Пусть n исп-й Бернулли с вер-ю успеха p, q=1-p и m – число успехов. Тогда для >0

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна p (p0, p1), а число испытаний достаточно велико, то справедлива формула:

где- малая функция Лапласа

Замечание: формула 2 исп, когда n10, np>10

Пусть ДСВ задана табл. распред-ем,

тогда ее ф-ция распределения:

y=F(x)=P(X<x)=P(X=x₁)+…P(X=x_n)=p₁+…+p_n

где x₁<x₂<…<x_n<x

_n

F(x)=∑p_i => p_k=F(x_k+1)-F(x_k)-ф-ция распред-я однозначно определяет з-н распред-я ДСВ.

ⁱ⁼¹

Графиком ф-ции распред-я д/ДСВ явл-ся кусочно-постоянная ф-ция.

Св-ва ф-ции распред-я:

1.) монотонно не убывает;

2.) непрерывна слева;

3.) limF(x)=0, limF(x)=1

x→-∞ x→+∞

26.Показательный з-н распред-ия

12. Редкие события. Теорема Пуассона.

25.Норм.з-н распр-ия. Мат. ожидание и диспер.СВ, распред. по норм. з-ну.

10.Формула Бернулли

5.Действия над событиями. Диаграмма Венна

Непрерывная СВ Х имеет показ. (экспоненциальное) распределение с параметром λ >0, если ее плотность распред-я имеет вид:

Ф-ция распределения СВ, распределенной по показ. з-ну:

Показательному распределению обычно подчиняется величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств, другими словами – величина промежутка времени между появлениями двух послед-х редких событий.

Вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)

Графики ф-ции распределения и плотности вероятности показательного распределения:

Ф-ла P_n(m)=(1/√npq)φ((m-np)/√npq) (2)

позволяет получать тем более близкие к точному значения P_n(m) результаты, чем больше знач. корня √npq и чем ближе знач . p и q к ½.

Если в-сть успеха р по отдельным испытаниям близка к 0 (такие события наз. редкими), то даже при большом n, но малом np (np<10) в-сти, полученные по ф-ле (2) недостаточно близки к их истинным знач. В этом случае прим. другую асимптотическую ф-лу – ф-лу Пуассона.

Теорема: Если в-сть наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна, но близка к 0, а np=λ<10, то

P_n(m)≈λ^m(e^-λ/m!) (4)

Замечание: ф-лу Пуассона исп., когда n≥10 (n≥100), а np≤10.

Влияние параметров а и σ на вид нормальной кривой.

Нормальное распределение явл. одним из наиболее часто встречающихся. Играет большую роль в тер. вер., поскольку явл. Предельным законом, к к-ому приближаются все др. законы распределения.

Док-но, что если знач. СВ возникают в результате большого числа независимых воздействий, ни одно из к-ых не превалирует над остальными, то результат этих воздействий явл. СВ, распределенной по нормальному закону почти всегда.

По нормальному закону распределены:

случайные ошибки измерения,

лин. размеры деталей при массовом пр-ве,

биометрические показатели лиц определенного возраста,

отклонения в результате хим., спектральных и других анализах.

Говорят, что непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ, если ее плотность распределения имеет вид -(x- a)²/2σ²

f(x)=( 1/σ√2π) e

Определение корректно, т.к.:

_-∞∫^+∞f(x)dx=1

M(X)= _-∞∫^+∞xf(x)dx=a

σ (X)= _-∞∫^+∞(x-M(X))²f(x)=σ²

Для геометрической интерпретации параметров а и σ исследуют поведение ф-ии

-(x-a)²/2σ²

f(x)=( 1/σ√2π) e

график к-ой наз. нормальной кривой.

График симметр.относит.а

При изменении параметра а форма кривой не меняется, а ее график сдвигается влево или вправо. При изменении параметра σ меняется форма нормальной кривой: с увеличением параметра σ кривая должна приближаться к 0Х и растягиваться вдоль этой оси, а с уменьшением σ кривая стягивается к прямой х=а.

Пусть проводится n независимых испытаний, в результате каждого из к-ых возможны 2 исхода: может произойти событие А(успех) с вер-тью р или не произойти событие А с вер-тью q = 1-p. Пусть X – число успехов в n испытаниях, тогда справедлива ф-ла Бернулли: Р(Х=m) = Рn(m) = C^m_nР^mQ^n-m

Док-во: Пусть проведено n независимых испытаний, в рез-те к-ых событие А произошло m раз (не важно в каком порядке). Это означ-т, что произошло событие С = { А произошло m раз, Ă произошло n-m раз}. Т.к. все n события независимы, то вер-ть события С Р(С) = Р^m Q^n-m. Однако событ. А может появиться в n опытах и совершенно др. послед-ти и число таких послед-ей = C^m_n.ВсеC^m_nвариантов появления событ. А m раз предст-т собой несовместн. событие с вер-ми Р^m * Q^{n-m, поэтому справедлива ф-ла Бернулли.}

Наиболее вероятное число успехов в схеме испытаний Бернулли удовл-т нер-ву:

^{(n+1)p-1 ≤ m ≤ (n+1)p}

Пусть некоторому опыту G соот-т простр-во элем-ых событий Ω, кот. изображ-ся в виде квадрата един-й площади. Вводимые далее действия над событиями м/представить также как операции над множ-ми и проиллюстр-ть с помощью диаграмм Венна.

Будем говорить, что соб. А влечет за собой соб.В, если из наступления А следует наступление В.( ; )

Суммой(объединением) соб.А и В наз. такое соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда происх-т по крайне мере 1 из соб-й А и В.()

Разностью соб. А и В наз. соб. С, кот. происходит т. и т.т., когда А происх-т, а В не происх-т.(С=А-В; С=А\В)

Произведением(пересечением) соб.А и В наз. С, кот. происходит т. и т.т., когда происходит А и В. (С=А*В; С=А∩В)

Соб. А и В наз. несовместными (не пересекающимися), если они не м/произойти одновременно, т.е. А*В=ǿ

Соб. В наз. противоположным к соб.А (дополнительным к А)[В= Ă], если оно происходит т. и т.т., когда А не происходит.(В=Ă)В рез-те опыта G 1 из 2-х соб-й А и Ă обязательно произойдет и эти события не совместны.( А+Ă= Ω; А*Ă= ǿ)

Говорят, что соб-я образуют полную группу(попарно несовместных) событий если: а)в рез-те G одно из них обязательно произойдет ; б) любые 2 из них не м/произойти одновр-но(ǿ)

2. Случ. события. Вероят-ть: статистич-ое определение.

3. Пространство элементарных событий

4. Вероятность: геом. опр. Задача о встрече

6. Т. сложения вероятностей.

7. Условная вер-сть. Т.* вер-тей

Опыт - осущ-ие заданного комплекса условий (G). Исход испытания - событие (А, В, С). События бывают детерминированные (подчинены жесткой связи причина-следствие) и недетерминированные.

Случайное событие – это событие, которое м/произойти и не произойти в результате опыта G. Пусть в связи с некот. оп. G нас интересует наступление случайного события A, проводим n-испытаний, пусть при этом соб. А произошло m-раз, m≤n.

Число называется относительной частотой (частостью) появления события А (в этих n-испытаниях).

Есть события д/к-рых относ. частоты обладают опред-го рода устойчивостью: при больших n они стабилизируются около некоторого пост-го р. Это число – вероятность события А.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частостей при неограниченном возрастании числа n.

События, которые нельзя разложить на составляющие их события, называются элементарными. Любое событие А из простран­ства достоверных событий можно составить из элементарных событий. Совокупность всех эл. событий в опыте называется пространством эл. событий.

Классическое определение вероятности

Классической схемой, или схемой случаев, называется опыт, при к-ром число элем. исходов конечно и все из них равно возможны.

Элементарное событие (исход) называется благоприятным д/события А, если его появление влечет наступление события А (т.е. эл.событие входит в число элементов, составляющих А).

Классической вероятностью события А называется отношение числа т эл. событий, благоприятных д/событию А, к числу п всех элементарных событий из этой схемы:

Из определения вероятности следует, что Р(Ø) = 0

В случае бескон. кол-ва равновозможных эл. исходов оп. G пространство элементарных событий часто м. представить в виде некоторого мн-ва Ω в простр-ве (одномерное пространство R-прямая; двумерное-R). Элемен. событие есть (.)-ки заполняющие мн-во Ω, тогда любому событию А соот-ет некоторое подмн-во мн-ва Ω.

Геом.вероятностью соб.А наз-ся отношение объема мн-ва А к объему всего мн-ва Ω.

P(A)=V(A) / V(Ω) 0≤P(A)≤ 1

Таким образом представим след. ситуация: бросаем наугад точку в обл. Ω (стреляем по Ω) попадание в мн-во А означает, что произошло событие А

Замечание: В дальнейшем пр-во эл.событий Ω будем изобр. в виде прямоуг. если это прямоуг. единич. площади то очевидно P(A)=S(A)/S(Ω)=S(A)

Задача о встрече:

2 студента договорились встретиться. Каждый из них приходит в течение 1 ч. и ждет 20 мин. Какова вероят. их встречи?

Опишем пр-во эл. соб.: Пусть x- время прихода 1 студ., y- время прихода 2-го студ.

Тогда 0≤x≤1ч. и 0≤y≤1ч.; в кач-ве Ω м. рассматривать квадрат. Событие А={студ.встретятся}={|x-y|<1/3}

|x-y|<1/3 ‹=› -1\3<x-y<1\3

y=x+1/3 y=x-1/3

P(A)=S(A)/S (Ω)=1-2\3*2\3=5\9

Пусть нек-ому опыту G соотв-т простр-во элемент-ых соб. Ω; , кот-ое будем изобр-ть в виде квадрата единичной площади. P(A)=S(A).

1.Теорема сложения вер-ей

Вер-ть суммы 2-х соб. равна сумме вер-ей этих соб. без вер-ти их произведения.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Следствие:

1)для несовместных событий: P(A+B)=P(A)+P(B);

2)для полной группы соб. H1,+,Hn: P(H1+…+Hn)=P(Ω)=1

3)сумма вер-ей противополож. соб. Равна 1: P(A)+P(A)=1; P(A)=1-P(A)

2.Вероятность разности 2-х соб. P(A-B)=P(A)-P(AB)

1) Условная вероятность события А при условии В равна Р(А/B)=P(A*B)/P(B), Р(В)>0. 2) Событие А не зависит от события В, если Р(А/B)=P(A). Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависит от А. В самом деле при Р(А)>0 имеем Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B). Вытекает следующая формула умножения вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/A). Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3) События А1,А2,…,Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е. Аi*Aj=0, i не=j, U по i от 1 до n Аi=омега.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

9. Формула полной вероятности.

17.Функция распред СВ

13. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

14.Понятие СВ

19. Ф-ция распред-я НСВ.

Систему событий А₁, А₂, ...,A_N называют конечным разбиением (или просто разбиением), если они попарно несовместны, а их сумма образует полное пространство событий: А₁ + А₂ + ... + А_N = 

Если события А_i образуют разбиение пространства событий и все P(A_i) > 0, то для любого события В имеет место формула полной вероятности: P(B) =P(A_k)P(B/A_k),

что непосредственно следует из (8.2.14) для попарно несовместных событий:

B = B = BA₁+BA₂+...BA_N.

P(B) = P(BA₁)+P(BA₂)+... +P(BA_N) = P(A₁)P(B/A₁)+P(A₂)P(B/A₂)+...+P(A_N)P(B/A_N).

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез.

Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F_X(x)= P{X<x}, xR

Под {X<x}понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее, чем число х. Если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x)  F_X(x).

Как числовая функция от числового аргумента х, функция распределения F(x) произвольной случайной величины Х обладает следующими свойствами:

1)для любого xR: 0 F(x)  1

2) F(-) = lim_x F(x) = 0 ; F(+) = lim_x F(x) = 1;

3) F(x)-неубывающая функция, т.е.для любых α,βтаких, что α< β :F(β) - F(α);

4)непрерывна слева

Если число повторных независимых испытаний достаточно велико, вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится число раз, заключенное в границах [a;b], может быть посчитана по формуле:

Свойства функции Лапласа:

Функция нечетная, возрастающая

X>4, Ф(х)=1

Следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Если число повторных независимых испытаний достаточно велико, вероятность появления события А в каждом испытании постоянно и отлично от нуля и единицы, то вероятность того, что число появлений события А отклонится от произведения np не больше, чем на некоторое положительное число r по модулю, может быть посчитано по формуле

Случайной величиной назыв числ величина, к-ая в результате опыта может принять какое-либо знач из некоторого мн-ва, причем заранее, до проведения опыта, невозможно сказать, какое именно знач она примет.СВ обознач буквами X, Y, Z,..., а их возможные значения —х, у, z. СВ назыв дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, и непрерывной в противном случае. Законом распред.СВ назыв любое со­отношение, связыв возможные знач этой СВ и соответс им вероятности. Закон распределения ДСВ задается чаще всего не функцией распределения, а рядом распределения, т.е, таблицей

В которой x1, x2, ..., xn, ... - расположенные по возрастанию значения ДСВ X, а р1, р₂, ..., р_п, ... — отвечающие этим значениям вероятности: p_i = Р{Х = хi), i= 1, 2, ..., п, ... . Очевидно, pi= 1.

Полигоном распред ДСВ X назыв ломаная, соединяющая точки {xi;pi), расположенные в порядке возрастания хi.

Судить о хар-ре распр-ия в небольшой окрестности точек числ. оси позвол-т плотность распределения вер-ей. Рассм-м НСВ Х с интегр.непр-но диф-ой ф-ией распр-ия F(x).

Вер-ть попад-ия этой вел-ны в интервал (х,х+∆х) равна Р(х<X<x+∆x)=F(x+∆x)-F(x).

Вер-сть, к-рая находится на ед-цу длины рассмарт-го интервала: (Р(х<X<x+∆x))/∆x=(F(x+∆x)-F(x))/∆x.

Если мы перейдем к пределам, то получим вер-ть, кот. прих-ся на изолиров-ую точку Х: Пл-тью распр-ия вер-тей (диф.фун-ей распр-ия) наз-ся первая производная интегр. ф-ции распр-ния F(x):

f(x)=F’(x).

График ПР вер-тей – кривой распр-ия CВ Х.

Cв-ва ПР:

1.f(x)≥0 для люб.x – cв-во неотриц-ти.

3. -

Cв-во нормировки.