1. Синтез комбінаційних схем

Комбінаційні схеми – це логічні схеми, сигнал на виході яких у кожен момент часу визначається комбінацією вихідних сигналів у той же момент часу.

Синтез комбінаційних схем полягає у визначенні таких способів поєднання деяких найпростіших схем, названих логічними елементами, при яких побудований пристрій реалізує поставлену задачу з перетворення вхідної двійкової інформації.

Поняття функції алгебри логіки (ФАЛ) є базовим у алгебрі логіки - математичному апараті, який використовується для опису умов функціонування, а також при перетворенні структур дискретних автоматів. Головні аксіоми алгебри логіки, а також тотожні співвідношення, отримані на їх основі, дозволяють перетворювати логічні формули, не порушуючи еквівалентності ФАЛ. Бульова алгебра базується на кількох аксіомах, з яких одержують основні закони для перетворень ФАЛ. Кожна аксіома може бути представлена у двох формах, що пов'язано із принципом дуальності (двоїстості) логічних операцій, згідно з яким операції кон'юнкції (логічного множення) та диз'юнкції (логічного складання) дозволяють взаємну заміну, якщо одночасно замінити логічну 1 на 0, 0 на 1, знак "+" на "·", а "·" на "+".

Аксіоми операції заперечення :

а) 0 = 1;

б) 1 = 0.

Аксіоми операцій кон'юнкції (а-в) та диз'юнкції (г-е):

а) 0 · 0 = 0;

б) 1 · 0 = 0 · 1 = 0;

в) 1· 1 = 1;

г) 1 + 1=1;

д) 0 + 1=1 + 0=1;

е) 0 + 0 = 0.

На відміну від інших аксіома (г) не має аналога у двійковій арифметиці, де 1 + 1=10 (тут цифри мають звичайний арифметичний зміст). Закони бульової алгебри пов'язані з аксіомами, а також мають дві форми виразів: для кон'юнкції та диз'юнкції. Їх вірність можна легко перевірити за таблицями істинності, або шляхом підстановки 0 та 1 замість відповідних значень змінних. Мають місце

такі закони: комутативний (переставний), асоціативний (сполучний), ідемпотентності (повторення), звернення, подвійної інверсії (заперечення), нульової множини, універсальної множини, доповнення, дистрибутивний (розподільний), поглинання, склеювання, інверсії (Де Моргана).

Для синтезу комбінаційних схем треба побудувати таблицю істинності, перейти від табличного способу завдання функції алгебри логіки (ФАЛ) до її запису у вигляді нормальних форм подання ФАЛ: досконалої диз'юнктивної нормальної форми (ДДНФ) і досконалої кон’юнктивной нормальної форми (ДКНФ),і побудувати карту Карно.

Існує кілька нормальних форм подання ФАЛ. Розглянемо дві з них:ДДНФ і ДКНФ. Для знаходження ДДНФ вибирають із таблиці тільки ті рядки, у яких стоять набори змінних, що перетворюють функцію в 1. При цьому, якщо аргумент x_i входить до даного набору як 1, він записується в кон’юнкцію (логічне множення) без зміни (x_i). Якщо ж x_i входить у набір як 0, то у відповідну кон’юнкцію вписується його заперечення (x_i). З'єднуючи ці кон’юнкції знаками диз'юнкції (логічне додавання) остаточно одержуємо ДДНФ.

Для знаходженняДКНФ вибирають із таблиці тільки ті рядки, у яких стоять набори змінних, що перетворюють функцію в 0. При цьому, якщо аргумент x_i входить у даний набір як 0, він уписується в диз'юнкцію без зміни (x_i). Якщо ж x_i входить у набір як 1, то у відповідну диз'юнкцію вписується його заперечення (x_i). З'єднуючи ці диз'юнкції знаками кон’юнкції остаточно одержуємо ДКНФ.

Вибір тієї або іншої форми аналітичного запису визначається видом таблиці істинності функції. Якщо більшість значень функції нульові, то зручніше записувати її в ДДНФ, у протилежному випадку - у ДКНФ.

Мінімізація ФАЛ – процес скорочення кількості входжень незалежних змінних й операцій в аналітичні вираження для ФАЛ.

При розв`язанні задач мінімізації ФАЛ, які залежать від невеликої кількості змінних (i≤6), знаходять широке застосування графічні методи. Найбільш поширеним серед них є метод карт Карно.

Карта Карно являє собою двокоординатну таблицю, у якій кожній клітинці поставлені у відповідність набори значенні змінних логічної функції. Набори, подані сусідніми клітинками, відрізняються значеннями тільки однієї змінної. Сусідніми вважаються дві клітинки, які знаходяться поряд, розташовані в одному стовпці або рядку. Властивість сусідства властива також кінцям кожного стовпця або рядка: нижня клітка в будь-якому стовпці є сусідньою по відношенню до верхньої клітинки того ж стовпця, а права клітка будь-якого рядка є сусідньої відносно лівої клітинки того ж рядка.

Карта Карно містить k = 2ⁱ клітинок ( i- кількість змінних даної логічної функції), що дорівнює кількості рядків у таблиці істинності функції або числу одиничних наборів змінних ДДНФ і нульових наборів змінних ДКНФ, разом узятих.

Прийнято називати клітинки карти Карно, у яких представлені одиничні значення функції, одиничними, а клітинки, що відповідають нульовим або невизначеним значенням функції, - нульовими або невизначеними клітинками. На карті Карно нульові значення функції зазвичай не відзначаються.

Властивість сусідства в карті Карно зручно використати для групування окремих одиничних наборів (кон;юнктивних термів) у так звані “підкуби” бо б'єднання з 2ⁿ одиничних наборів (n=0,1,2,3,4,…). Підкуби творяться з метою виключення однієї, двох, або декількох змінних, вхідних в одиничні набори, тому що при склеюванні відбувається виключення однієї або декількох змінних.

Внесок підкуба – спрощене аналітичне вираження, що описує підкуб.

Щоб визначити внесок підкуба в мінімальну функцію, необхідно взяти диз'юнкцію (кон’юнкцію) одиничних наборів змінних, що входять до підкуба. Існують мінімальна диз'юнктивна нормальна форма (МДНФ) і мінімальна кон’юнктивна нормальна форма (МКНФ).

Утворення підкубів для отримання мінімального значення функції проводиться за таким правилом:

1. утворити двоклітинкові підкуби з наборів, які мають тільки одного сусіда;

2. із наборів, що залишились, утворити підкуби максимальної величини (якщо це можливо), які не перетинаються ;

3. з наборів, що залишились, утворити підкуби максимального розміру, які перетинаються;

4. з наборів, що не мають жодного сусіда, утворити одноклітинкові підкуби;

5. закінчити утворення підкубів, якщо всі набори задіяні.

При використанні цього потрібно строго дотримуватися послідовності виконання пунктів.