ФМ_ДО_2013

динамики в современном курсе физики 9 класса. Анализ структуры и содержания раздела «Электродинамика» в школьном курсе физики средней школы на общеобразовательном и профильном уровнях.

28.Методика изучения постоянного электрического тока в школьном курсе физики

Электронная теория в школьном курсе физики. Изучение условий существования электрического тока в цепи. Формирование понятий «сила тока», «напряжение» и «сопротивление». Методика изучения закона Ома для участка цепи и для полной цепи. Методика изучения прохождения электрического тока через различные среды.

29.Методика изучения электромагнитных колебаний и волн в школьном курсе физики

Научно-методический анализ и методика формирования основных понятий в курсе физики основной и средней школы. Методика изучения электромагнитных колебаний. Методика изучения электромагнитных волн. Методические особенности изучения волновых свойств света.

30.Методика изучения раздела «Квантовая физика» в средней школе

Особенности и методика изучения вопросов атомной и ядерной физики

в основной школе. Анализ структуры и содержания раздела «Квантовая физика» на общеобразовательном и профильном уровнях. Научнометодический анализ и методика изучения темы «Световые кванты». Науч- но-методический анализ и методика изучения основных вопросов физики атом и атомного ядра в выпускном классе.

11

6.Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на сегменте функци-

ях.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функцией своих граней. Существенность условий в теоремах Вейерштрасса.

7.Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Обратные тригонометрические функции.

Понятие обратной функции, график. Монотонные функции и их свойства (обзорно). Существование и непрерывность обратной функции. Определение и существование обратных тригонометрических функций. Основные свойства обратных тригонометрических функций (область определения; множество значений; непрерывность; график).

8.Производная и дифференцируемость функции в точке. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций.

Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной функции в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Условия дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций. Задачи, приводящие к понятию производной.

9.Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке.

Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Необходимое и достаточное условия постоянства функции на промежутке. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке, достаточное условие строгой монотонности. Применение этих утверждений при доказательстве тождеств, неравенств и при определении промежутков монотонности.

10.Экстремумы и точки перегиба функции.

Определение локального максимума (минимума) функции. Необходимое условие существования точек экстремума, достаточное условие существования точек экстремума. Правила нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на сегменте функции, примеры. Определение выпуклости (вогнутости) функции на промежутке, достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба графика функции, необходимое условие, достаточное условие существования точек перегиба.

11. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы интегрирования функции.

Понятие первообразной функции, свойства первообразной. Понятие неопределенного интеграла и его свойства, таблица интегралов основных элементарных функций. Методы непосредственного интегрирования, интегрирование методом подстановки и по частям (демонстрировать на примерах).

2

12.Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной

функции.

Задачи приводящие к понятию ОИ (площадь криволинейной трапеции, вычисление работы под действием переменной силы). Понятие ОИ. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства (обзорно). Интегрируемость непрерывных функций. Свойства ОИ (обзорно).

13.Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Определение функции F(x) = x∫ f (t)dt − определенный интеграл с пере-

a

менным верхним пределом. Свойства функции F(x): непрерывность и дифференцируемость, существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница и ее значение для интегрального исчисления (связь между НИ и ОИ).

14.Квадрируемые фигуры и спрямляемые кривые. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры и длины спрямляемой кривой.

Квадрируемые фигуры, необходимое и достаточное условие квадрируемости. Площадь криволинейной трапеции, площадь криволинейного сектора

вполярных координатах. Понятие длины кривой, спрямляемые кривые, свойства. Вычисление длины спрямляемой кривой с помощью ОИ.

15.Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Понятие числового ряда, n-ой частичной суммы, сходимость и расходимость ряда. Критерий Коши о сходимости ряда, необходимое условие сходимости. Положительные ряды, признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный (обзорно). Абсолютная и условная сходимость, свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

16.Формула и ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

Формула Тейлора (без доказательства), ряд Тейлора. Необходимое усло-

вие разложимости функции в ряд Тейлора, достаточное условие разложимости. Разложение элементарных функций ex, cos x, sin x, ln(1+x), arctg x в ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Применение теории степенных рядов в приближенных вычислениях.

17.Показательная функция и ее свойства.

Определение степени действительного числа с рациональным, иррациональным показателем. Свойства степени положительного действительного числа с действительным показателем (обзорно). Определение показательной функции в действительной области, свойства (область определения, множество значений, монотонность, непрерывность, дифференцируемость).

18.Тригонометрические функции и их свойства.

Определение функции синуса и косинуса в действительной области, свойства (область определения, ограниченность, периодичность, четность, нечетность, непрерывность, множество значений, графики). Определение

3

функций tg x, ctg x и их свойства (обзорно). Разложение функций sin x и cos x в ряд Маклорена.

19.Логарифмическая функция и ее свойства.

Определение логарифмической функции в действительной области, свойства (область определения, множество значений, монотонность, непрерывность, логарифм от произведения, частного и степени).

20.Степенная функция и ее свойства.

Определение степенной функции с натуральным показателем, свойства (область определения, непрерывность, множество значений, дифференцируемость, графики). Определение степенной функции с рациональным показателем и ее свойства. Определение степенной функции с действительным показателем, свойства (область определения, непрерывность, множество значений, дифференцируемость).

Дифференциальныеуравнения

1.Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешимые в

явном виде.

Дифференциальные уравнения вида y / = f (x) . Дифференциальные уравнения

сразделяющимися переменными.

2.Однородные дифференциальные уравнения первого поряд-

ка.

3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

4.Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

5.Принцип сжатых отображений и его применение при доказательстве теоремы о существовании и единственности решения начальной задачи для дифференциального уравнения.

Теорема Банаха о существовании и единственности неподвижной точки оператора сжатия в полном метрическом пространстве. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Доказательство теоремы Пикара о

единственности и существовании решения начальной задачи Коши для уравнения y′ = f (x, y) на основании принципа сжатых отображений. Выводы и следствия

из теоремы Пикара.

6.Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.

ЛОДУ с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, структура решений ЛОДУ с постоянными коэффициентами, если характеристическое уравнение имеет разные действительные корни, кратные корни, комплексно сопряженные корни.

7.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка.

Теорема о структуре общего решения, нахождение общего решения ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных.

4

8.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

Построение частных решений ЛНДУ с постоянными коэффициентами по виду правой части уравнения методом неопределенных коэффициентов..

9.Математические модели свободных колебаний.

Математические модели колебательных систем (вывод д.у. колебаний

подвешенного на пружине тела около положения равновесия, анализ полученных д.у). Построение общего решения уравнения свободных колебаний системы, физическое истолкование полученных решений.

10. Математические модели вынужденных колебаний. Резонанс.

Математические модели колебательных систем (вывод д.у. вынужденных колебаний подвешенного на пружине тела около положения равновесия, анализ полученных д.у). Построение общего решения уравнения вынужденных колебаний, явление резонанса.

Алгебра

1.Векторные пространства. Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств.

Определение и простейшие свойства векторного пространства. Подпространства векторного пространства. Линейная оболочка. Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств. Теорема о размерности векторного пространства (с док-вом).

2.Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений.

Решение, следствие, равносильность систем линейных уравнений (СЛУ). Элементарные преобразования СЛУ. Решение СЛУ методом последовательных исключений переменных (методом Гаусса). Критерий КронекераКапелли о совместности СЛУ. Решение СЛУ с помощью определителей и обратной матрицы. Система однородных линейных уравнений.

3.Кольцо многочленов от одной переменной над числовым полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида.

Кольцо многочленов от одной переменной под числовым полем. Отношение делимости в кольце многочленов с одним переменным над произвольным полем. Определение НОД двух многочленов. Определение деления с остатком и алгоритм Евклида. Обоснование алгоритма Евклида. Существование и единственность НОД двух многочленов.

4.Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппа. Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Определение группы. Аддитивная и мультипликативная теоретикогрупповая терминология. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Определение и примеры подгруппы. Критерий подгруппы (с док-вом). Опреде-

5

ление и примеры гомоморфизма и изоморфизма групп. Ядро гомоморфизма групп.

5.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец.

Определение кольца, коммутативного кольца и кольца с единицей. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Делители нуля кольца. Определение и примеры подкольца. Критерий подкольца. Определение и примеры гомоморфизма и изоморфизма колец. Ядро гомоморфизма колец.

6.Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей и его единственность.

Определение приводимых и неприводимых многочленов над произвольным полем и примеры приводимых и неприводимых многочленов над числовыми полями. Теорема о существовании и единственности разложения многочлена в произведении неприводимых над полем Р многочленов (с доквом).

7.Симметрические многочлены.

Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах и следствие из нее. Вывод S (x12 ), S (x12 x2 ), S (x13 ) . Алгоритм получения представления симметрического многочлена через элементарные симметрические.

8. Поле. Простейшие свойства поля. Примеры полей.

Определение и простейшие свойства поля (определение и свойства поля, отсутствие делителей нуля). Примеры конечных полей: кольца вычетов по простому модулю. Примеры бесконечных полей: числовые поля.

9. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

Основная теорема алгебры. Теорема сопряженности комплексных, но не действительных корней многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел.

10.Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Извлечение корня и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Перевод комплексного числа из алгебраической в тригонометрическую форму записи.

Извлечение корня и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

11. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.

Определение и простейшие свойства отношения сравнимости в кольце целых чисел. Кольцо классов вычетов. Определение и примеры полной системы вычетов. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.

6

12.Матрицы. Обратимые матрицы. Способы нахождения обратной матрицы.

Определение обратимой и обратной матриц. Существование и единственность обратной матрицы для квадратной невырожденной матрицы. Способы нахождения обратной матрицы (обоснование одного из способов).

13.Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель квадратной матрицы (случаи: 2-го, 3-го и n-го порядков). Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) (с док-вом).

14.Линейное отображение векторных пространств. Линейный оператор. Ядро, дефект и образ линейного оператора.

Линейное отображение векторных пространств. Теорема о существовании и единственности линейного отображения (с док-вом). Линейный оператор. Ядро, дефект и образ линейного оператора.

15.Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение матрицы линейного оператора.

Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение матрицы линейного оператора. Теоремы.

Геометрия

1.Трехмерное евклидово пространство по школьному учебнику геометрии. Общая характеристика систем аксиом.

Суть аксиоматического метода. Смысл понятий: аксиома, определение, теорема, доказательство теоремы. Требования, предъявляемые к системам аксиом. Общая характеристика системы аксиом евклидовой геометрии по школьному учебнику геометрии. Примеры определений и доказательств теорем в системе аксиом школьного учебника геометрии.

2.Векторное и смешанное произведения векторов. Вычисление по координатам в ортонормированном базисе.

Определение векторного произведения двух векторов. Геометрический смысл модуля векторного произведения векторов. Формула для вычисления векторного произведения векторов в координатной форме. Свойства векторного произведения. Определение и свойства смешанного произведения трех векторов. Геометрический смысл модуля смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме. Применение к решению задач.

7

3.Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости и двух прямых в трехмерном пространстве.

Суть метода координат в пространстве. Выяснение взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости – как пример использования метода координат. Примеры. Исследование взаимного расположения двух прямых в трехмерном пространстве – как пример использования векторов к решению задач. Примеры.

4.Аффинные преобразования плоскости. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.

Определение аффинных преобразований плоскости. Примеры. Задание аффинных преобразований парой реперов. Свойства аффинных преобразований. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. «Эрлангенская программа». Применение аффинных преобразований к решению задач.

5.Измерение площади многоугольника в евклидовой геометрии. Теоремы существования и единственности площади многоугольника.

Понятие многоугольника. Площадь многоугольника в евклидовой геометрии. Теорема существования. Теорема единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников и их использование при выводе формул площадей многоугольников.

6.Геометрия Лобачевского. Интересные факты геометрии плоскости Лобачевского.

Исторические сведения о возникновении геометрии Лобачевского. Система аксиом геометрии Лобачевского. Непротиворечивость и полнота системы аксиом. Примеры доказательств некоторых теорем плоскости Лобачевского.

7.Линии в евклидовом пространстве. Формулы Френе.

Понятие линии. Уравнения линии. Примеры. Понятие гладкой линии. Естественная параметризация линии. Понятие касательной к линии и ее направляющего вектора. Подвижной репер. Формулы Френе.

Рекомендуемая литература

Математический анализ и дифференциальные уравнения

1.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. − М.: Лань, 2009,

т.т. 1,2.

2.Кудрявцев Л.Д, Курс математического анализа. − М.: Дрофа, 2006, т. 1.

3.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. − М.; Проспект, 2006.

4.Ильин В.А., Позняк Э.Г, Основы математического анализа. − М.: Физмат-

лит, 2009.

5.Понтрягин Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения. – Едиториал УРСС , 2011.

6.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. − М.: Комкнига. 2006.

7.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. − М:

8

ЛКИ, 2011.

8.Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения − М.: Высш. шк., 2005.

9.Вагапов В.З. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для вузов. − Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. акад., 2007.

Алгебра

1.Вахитова Е.В. Векторные пространства и линейные отображения. Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 2004. -87с.

2.Вахитова Е.В. Теория сравнений и ее приложения. Стерлитамак:

СГПИ, 2000 – 414 с.

3.Геворкян П.С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие для студентов вузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

– 204 с.

4.Кострикин А.И. Линейная алгебра и геометрия: учебное пособие / А.И. Кострикин, Ю.М. Манин. – СПб.: Лань, 2008. -302с.

5.Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учебник для студенческих вузов /

А.Г. Курош – СПб.: Лань, 2008.- 431с.

6.Ляпин Е.С. Курс высшей алгебры: учебник / Е.С. Ляпин – СПб.: Лань

,2009. – 367 с.

7.Окунев Л.Я. Высшая алгебра: учебник / Л.Я. Окунев – СПб.: Лань, 2009. – 335 с.

8.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: учебное пособие для студенческих вузов / Д.К. Фаддеев – СПб.: Лань, 2007. – 415 с.

Утверждено Советом физико-математического факультета СФ БашГУ Протокол №6 от 25.02.2013 г.

9