Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5111 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Аналитическая геометрия

.pdf
Скачиваний:
87
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
1.59 Mб
Скачать
☆

6sin 2

9sin

cos

6cos2

0 ,

6tg2

9tg

6 0 .

 

 

Определяем

, cos

и sin

и подставляем в (5):

20 x'2 5y'2 20 0 .

Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:

x'2

 

y'2

 

 

 

 

1.

(6)

1

4

 

 

Уравнение (6) – это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О y ) и 1(по оси О x ).

Эллипс

Определение. Эллипс – это геометрическое

расстояний от двух фиксированных точек плоскости

Точки F1

и F2 называются фокусами.

r1 и r2 - фокальные радиусы точки M .

 

 

 

 

 

 

r1

r2

2a ,

F1F2

2c ,

2a

2c следовательно a c ,

 

 

 

 

 

b

 

a2

c2 .

место точек, для которых сумма

F1 и F2 есть постоянная величина.

y

 

 

b

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

F1

 

a

F2

x

a

Вывод уравнения эллипса

Дано: эллипс с фокусами F1 и F2 , a – большая полуось,

 

c – половина расстояния

между фокусами.

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмем за ось абсцисс прямую F1F2 , а точку O поместим на середине отрезка

F1F2 . Пусть M x; y – произвольная точка плоскости. Пусть r1

 

F1M

 

, r2

 

F2 M

 

.

 

 

 

 

По определению эллипса точка M принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда

r1 r2 2a .

(7)

Координаты фокусов равны соответственно F1 c;0 , F2 c;0 , следовательно

 

r

x c 2

y2 ,

r

 

x c 2

y2 .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим r1

и r2

в (7):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

c 2

y2

+

 

 

 

x

c 2

y2

= 2a .

 

 

(8)

 

(8) – уравнение эллипса в заданной системе координат. Преобразуем его к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x c 2

y2

 

= 2a

 

 

x

c 2

y2

и возведем в квадрат обе части уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x c 2

 

 

y2

4a2

4a x c 2 y2

x c 2

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

2cx c2

y2

4a2

4a x c 2

y2 x2

2xc c2 y2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4cx 4a2

 

4a x c 2

y2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

cx

 

 

a

x c 2

y2

; возведем в квадрат еще раз:

 

a4

2a2cx c2 x2

a2

x c 2

y 2 ;

 

 

 

 

a4

2a2cx c2 x2

a2 x2

2a2cx a2c2 a2 y 2 ;

 

x2 a2

c2 a2 y 2

a2 a2

c2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2 x2

a2 y 2

a2b2 .

Обозначим b

 

a2

 

c2

, получим

После приведения к каноническому виду уравнение эллипса запишется так:

 

x2

 

y 2

1.

 

 

 

 

 

(9)

 

 

a 2

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эллипс, определяемый уравнением

x2

 

y 2

1 , симметричен относительно

Ox и

a 2

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oy . O - центр эллипса, a и b - большая и малая полуоси эллипса.

 

При a

b получаем x2 y 2

a2 - уравнение окружности.

 

Определение. Эксцентриситет эллипса – отношение расстояния между фокусами

к длине его большей оси:

c

.

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Так как a c , следовательно < 1.

c2 a2 b2 , следовательно,

2

a2

b2

 

b

2

 

 

1

 

.

 

 

a2

a

 

 

 

 

 

 

Определение.

Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и

расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a от него, называется

директрисами эллипса.

 

 

 

 

Их уравнения: x

a и x

a . Так как

1, следовательно, a

a .

Гипербола

Определение. Гипербола – геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси гиперболы.

 

y

 

 

 

x

 

 

 

Эта

разность

по модулю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

должна

быть меньше расстояния

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

между фокусами 2c

и отлична от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

r1

 

 

нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

F2

 

 

 

 

F1

 

r1 и

r2 - фокусные радиусы точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

M .

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

r2 2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

2c (по

определению)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно a c .

Гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ветвями.

Канонический вид уравнения

 

x2

 

y 2

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

(11)

 

a2

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

2

 

 

b

 

 

 

 

 

 

y

 

 

b

1

 

 

x

2

a

2

.

 

 

 

a

2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

y

 

b

x

– это уравнение прямой с угловым коэффициентом k

b

. При

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

b

x .

 

 

x

 

x 2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

Прямые y ba x называются асимптотами гиперболы.

Отрезки 2a и 2b - оси гиперболы.

Уравнение вида

x2

 

y 2

1

задает гиперболу, сопряженную с первой.

a2

 

b2

 

 

 

 

Гипербола с равными полуосями a b называется равносторонней: x2 y 2 a2

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния

между фокусами к расстоянию между вершинами:

 

c

.

(12)

 

 

 

a

 

Определение. Две прямые,

перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее

пересекает, расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a от него,

называются директрисами гиперболы.

Теорема. Для любой точки эллипса и гиперболы справедливо соотношение

r

,

(13)

 

d

 

 

где r – расстояние от точки до фокуса F , а d

– расстояние до соответствующей

директрисы.

Парабола

Определение. Парабола – это геометрическое место точек, для каждой из которых

расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой:

r d .

(14)

F – фокус, p – расстояние от

фокуса до директрисы – параметр параболы, r –

фокальный радиус точки.

 

y 2 2 px

– каноническое

y

d

Q

r y

F

x

p p

2 2

 

 

 

(15)

уравнение

параболы,

симметричной

относительно

оси О x ,

при p 0

ветви параболы

направлены вправо. Уравнение

 

x 2 2 py

задает

параболу,

симметричную

относительно оси ординат, ветви которой при p 0

направлены вверх.

x

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка».

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

y 2

 

Пример 1: Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

 

 

 

1

 

25

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: Для данного эллипса a

5, b

4 и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

25

16

3

 

 

 

 

 

Следовательно, фокусы имеют координаты F1

3,0

 

и F2 3,0 , эксцентриситет

3

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2: Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

9x2 4y2 36

Решение: Разделив на 36, приведем данное уравнение к виду

 

 

x 2

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что большая полуось эллипса a

3 , а малая полуось b 2 . При

этом ось эллипса и его фокусы расположены на оси Oy . Найдем c по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 b2

 

 

 

 

 

c

9 4

5 .

Следовательно, координаты фокусов F1 0,5 и F2 0,5 , а его эксцентриситет

c 5

а 3

Пример 3: Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось a 12 , а его эксцентриситет 0,5 . Найти расстояние между фокусами эллипса.

Решение: Воспользуемся формулой, выражающей эксцентриситет через отношение полуосей:

1

b

2

, или

2

1

b2

, откуда

b2 a2 1 2 .

a

 

 

 

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном случае b2

144 1

0,25

108

 

 

Следовательно, каноническое уравнение эллипса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

144

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

c

, то c

a

; c

12 0,5

 

6 и расстояние между фокусами

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1F2 2c 12

Пример 4: Асимптоты гиперболы имеют уравнения 4y 3x 0 , а расстояние между фокусами равно 20. Написать ее каноническое уравнение.

Решение: Разрешим уравнения асимптот относительно y и, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение b к a :

y

3

x;

b

 

3

.

4

a

4

 

 

 

Кроме того,

F F 2c 20

, т.е. c 10 . Так как для гиперболы c2 a 2 b2 , то для

 

1

2

 

 

 

 

 

нахождения a и b получим систему уравнений

 

 

 

 

 

 

b

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

4,

 

 

 

a 2 b2

100

решая которую, найдем a 8, b 6 . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

x 2

 

y 2

 

 

 

1.

64

36

 

Пример 5: Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A 2,4 и симметрична относительно оси Ox . Написать ее уравнение.

Решение: Так как парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку A с положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.

y

x

p

0

F

p

,0

x

2

 

2

 

 

 

 

 

 

Подставляя координаты точки A в уравнение такой параболы y2 2 px , получим

16 2 p 2 , т.е. p 4 .

Следовательно, искомое уравнение

y2 8x

фокус этой параболы F 2,0 , уравнение директрисы x 2.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности