Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

1). Пусть М(х,у) – точка с переменными координатами (переменная точка). Рассмотрим точку В(0, b). По формуле (1) угловой коэффициент

равен

k	y	b	(2)

		x
		x

Преобразуем формулу (2) к виду

y b kx или

y kx b

(3)

Если точка М не принадлежит данной прямой, то уравнение (3) не выполнится, следовательно, (3) - это уравнение прямой (по определению).

Уравнение (3) определяет прямую, имеющую угловой коэффициент k, и

отсекающую на оси Oу отрезок b, и называется уравнением прямой с

угловым коэффициентом.

2). Пусть известна одна точка М1(х1,у1) и угловой коэффициент k:

По формуле (1), если М (х, у) – переменная точка,

	y	y1	k		(4)
	x	x1

или
y		y1 k x x1			(5)
Уравнение (5) – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k,
проходящей через точку М1				x , y .
				1	1

3) Пусть известны точки М1 (х1, у1) и М2(х2, у2), принадлежащие прямой. Найти уравнение этой прямой.

По формуле (1) –						y	2	y1	k . Отсюда, с учетом (5), получим
По формуле (1) –						x2		x1	k . Отсюда, с учетом (5), получим
						x2		x1
y y	=	y2	y1	x - x
y y	=			x - x	1
1		x2	x1		1
		x2	x1

или, поделив обе части равенства на y2								y1 ,
	x		x1	y		y1	.	(6)
							.	(6)
	x	2	x	y	2	y
		2	1		2	1

Уравнение (6) – это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Угол между прямыми

Пусть существуют две прямые, неперпендикулярные оси Ох; k1 и k2 –

угловые коэффициенты этих прямых. Пусть φ – угол между заданными прямыми.

α1 – угол наклона первой прямой к

оси Ох;

α2 – угол наклона второй прямой к

оси Ох.

2 1 .

α1

α2

tg φ =

1 tg

т. к. tg 1

и tg 2

k2 =>

(6)

1 k1k2

При =

(прямая перпендикулярна оси Ох) формула (6) теряет смысл.

1.Условие параллельности двух прямых. Обозначим две прямые l1 и l2 .

l1 | | l2

k1 k2 .

2.Условие перпендикулярности двух прямых:

l	l			k		1	.
		2			2
1			2			k1

Общее уравнение прямой

Теорема. В декартовой системе координат каждая прямая определяется уравнением первой степени и обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Доказательство. Пусть существует прямая l . Если l не перпендикулярна оси Ох, то она определяется уравнением первой степени y = kx + b. Если

прямая l перпендикулярна оси Ох, то для всех точек, принадлежащих

прямой, выполняется равенство x = a, что также является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано уравнение

Ax + By + C = 0.

(7)

а). Если B≠0, то можно записать

0 или y

Обозначим

k и

b . Тогда y

b – уравнение прямой.

б). Если В = 0, то А ≠ 0.

Ax C

0 =>

x =

Пусть

≡ a

=> х = а – уравнение прямой, параллельной оси Oу.

Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой,

поскольку определяет все виды прямых без исключения.

Неполное уравнение первой степени

Рассмотрим три случая, когда уравнение является неполным.

1.С = 0 => Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало

координат.

2.В = 0 (А ≠ 0) => Ах+ С = 0 – прямая параллельна оси Оу.

3.А = 0 (В ≠ 0) => Ву + С = 0 – прямая параллельна оси Ох.

Уравнение прямой “в отрезках”

Пусть дано уравнение Ах + Ву + С = 0, где А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0.

Преобразуем его к виду Ах + Ву = -С и разделим на (-С):

1 или

1 .

Обозначим а ≡

b ≡

– уравнение прямой в отрезках.

(8)

b l

Числа a и b в уравнении (8) имеют геометрический смысл. Это величины отрезков,

отсекаемых прямой на координатных осях.

Убедимся в этом. Найдем координаты точки пересечения прямой с осью Ох:

х		у	1

а		b
а		b
	у=0		х = а, у = 0.

Аналогично находится длина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Совместное исследование уравнений двух прямых

A1 x	B1 y	C1	0
A2 x	B2 y	C2	0

Каждое уравнение определяет прямую на плоскости. Совместное

решение этих уравнений определяет общую точку этих прямых.

1). Пусть	А1	В1	. Определитель системы	А1	В1	0 , система имеет
	А2	В2		А2	В2

единственное решение.

Это значит, что прямые пересекаются в одной точке. Координаты точки пересечения находятся по формулам Крамера.

2). Пусть	А1	В1		. Тогда возможны два случая:
	А	В	2

	2

а)	А1	В1		С1
а)	А	В	2	С	2
	2		2		2
б)	А1	В1		С1
б)	А	В	2	С	2
	2		2		2

=> общих точек нет, прямые параллельны;

=> уравнения равносильны, т.е. определяют одну и ту же

прямую.

Два уравнения определяют одну прямую, если их коэффициенты пропорциональны.

Нормаль к прямой

Пусть прямая L задана общим уравнением:

Ах + Ву + С = 0.

(9)

Пусть т. М0 (х0, у0) L .

Ах0 + Bу0 + C = 0.

(10)

Вычтем (10) из (9):

А(х - х0) + В(у - у0) = 0

(11)

Выражение (11) можно рассматривать как скалярное произведение двух

векторов: n A, B и М0 М x

x0 , y y0 . Так как n M0 M 0 , то n M0 M , и

вектор n является нормалью к прямой L.

Угол между двумя прямыми

Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:

А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0.

Нормали к прямым: n1 A1 , B1 и n 2 A2 , B2 .

Угол между прямыми можно определить как угол между нормалями к этим прямым:

cos

n1 n2

A1 A2

B1 B2

B 2

Тогда условие параллельности прямых – это условие коллинеарности нормалей:

A1	B1		.

A	B	2
2

Условие перпендикулярности прямых – это перпендикулярность нормалей:

n1 n2 0 => А1А2 + В1В2 = 0.

Каноническое уравнение прямой

Определение. Любой вектор, отличный от нулевого, параллельный

заданной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть		на	прямой	L задана точка M1	x1 , y1 , а вектор q l, m –
направляющий вектор прямой L . Точка M x, y					принадлежит прямой, если

вектор M 1 M			x x1 , y y1	параллелен вектору q :
	x x1	y	y1
	l	m .			(12)

Уравнение (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями,

определяется как угол между направляющими векторами этих прямых:

cos		l1l2	m1m2			.


	l 2	m2		l 2	m2
1		1	2		2

Условием параллельности прямых будет условие коллинеарности их направляющих векторов:

L1	\|\| L2	l1	m1	.
		l2	m2

Условие перпендикулярности прямых равносильно условию равенства нулю скалярного произведения их направляющих векторов:

L1 L2

l1l2 m1m2 0 .

Параметрические уравнения прямой

Пусть	x	(t) .
	y	(t)

Если величины х и у рассматривать как координаты точки М при каждом значении t, то такие уравнения называются параметрическими уравнениями траектории точки М. Аргумент t – переменный параметр.

В каноническом уравнении прямой (12) примем одну из величин

(правую или левую часть равенства) за параметр t. Получим два уравнения

x	x1	lt	или	x	x1	lt	.	(13)
y	y1	mt		y	y1	mt

Уравнения (13) – это параметрические уравнения прямой на плоскости.

Если принять, что параметр t – время, то параметрические уравнения приобретают физический смысл. Они определяют закон движения точки по прямой L.

Нормальное (нормированное) уравнение прямой

Пусть существует прямая L. Проведем вектор n , перпендикулярный L ,

через

начало

координат.

Р – точка

пересечения прямой и нормали.

На

нормали введем

положительное

направление от О к Р.

Пусть

- полярный угол нормали,

α θ

– полярный угол вектора OM .

Обозначим |ОР| = р. Выберем на прямой L точку М(х,у). Проекция вектора

OM на нормаль определяется как

npn

= p

(14)

Найдем выражение npn OM через координаты точки М. Пусть , –

полярные координаты точки М.

npn		cos		cos	cos	cos sin sin	cos cos	sin sin
npn	OM	cos		cos	cos	cos sin sin	cos cos	sin sin
=
x cos		y sin .
npn		= x cos	y sin					(15)
npn	OM	= x cos	y sin					(15)
Из (1) и (2) =>			p	x cos	y sin	или
x cos		y sin	p	0				(16)

Уравнение (16) – это нормальное уравнение прямой.

			Расстояние от точки до прямой
у
l	Q	n
	Q			Пусть М* – любая точка плоскости, d – еѐ
				Пусть М* – любая точка плоскости, d – еѐ
	P			расстояние от данной прямой.
			M*	расстояние от данной прямой.
	p		M*
	p
	α
0			х

Определение. Отклонением точки М* от данной прямой называется число (+d), если М* лежит по ту сторону от прямой, куда указывает положительное направление нормали, и (–d) – в обратном случае.

= ±d

Теорема. Пусть точка М* (х*, у*)произвольная точка плоскости, L –

прямая, заданная уравнением xcosα + ysinα – р = 0. Отклонение точки М* от этой прямой задается формулой

x * cos

y *sin

p .

(17)

Доказательство. Проекция точки М* на нормаль – точка Q . Отклонение точки М* от прямой

δ= PQ = OQ – OP.

Но OQ = npn		, а ОР = р	δ = npn		* - р
	OM			OM

npn OM = x * cos y *sin x * cos y *sin p .

Таким образом, отклонение точки М* от прямой легко вычисляется,

если прямая задана нормальным уравнением. Достаточно лишь подставить в нормальное уравнение прямой координаты точки.

Пусть прямая задана общим уравнением: Ах + Ву + С = 0, а

x cosα + y sinα – р = 0 – еѐ нормальное уравнение .

Поскольку два уравнения определяют одну прямую, их коэффициенты должны быть пропорциональны. Уравнение

Ax By C 0

(18)

совпадает с нормальным уравнением. Тогда

A cos	,	B sin ,	C p ;
2 ( A2	B 2 )	cos2	sin 2 .

Отсюда можно найти :

	1		– нормирующий множитель уравнения прямой.


	A2 B 2
	A2 B 2

Определим знак нормирующего множителя:

µС = - р < 0.

Следовательно, знак µ противоположен знаку С в уравнении. (Если С = 0 –

знак µ произвольный).

Уравнение пучка прямых

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через некоторую точку S (х0, у0), называется пучком прямых с центром S.

Теорема. Пусть A1 x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0	– уравнения двух
прямых, пересекающихся в точке S ,
α и β – числа не равные нулю одновременно. Тогда
α(А1х + В1у + С1) + β(А2х + В2у + С2) = 0	(*)
– это уравнение прямой, проходящей через точку S.
Доказательство.