Тема 4. Линейное пространство

1^о. Определение и простейшие свойства

Пусть даны поле с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами,,, … и множествоэлементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами.Введем на алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов ставит в соответствие третий элемент, называемыйсуммой и и обозначаемый , а также операцию умножения скаляра на вектора, котораяиставится в соответствие, называемый произведением вектора на скаляр и обозначаемый

Определение 1. Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых ивыполняются равенства:

а) Умножение нане изменяет, т.е..

б) .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. .

Обозначение. .

Замечание. Так как­­− абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый, для каждого векторасуществует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый, и дляуравнениеимеет единственное решение, называемое разностью и .

Свойства линейного пространства.

1) выполняется.

2) выполняется.

3) выполняется.

4) выполняется.

5) .

6) .

7) .

Доказательство.

1. Так как в силу г)имеем. Аналогично,имеем.

2. В силу г) имеем в силу разности векторов.

3. Следует из 2) при .

4. Доказывается аналогично.

5. Если и, то умножая это равенство наполучаем:и. Т.о., если, то. Обратное утверждение следует из 1).

6. Из .

7. Аналогично. ■

Примеры.

1. Если − поле и, тоимеем− векторное пространство, называемоенулевым.

2. −векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел. − векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.

3. Множество матриц размераобразует векторное пространство.

4. Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство.

5. Множество непрерывных нафункций образует векторное пространство.

6. –n-мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы изnчисел:. Операции определены следующим образом:

;

.

Задача. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.

2^о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2. Линейной комбинациейвекторовс коэффициентаминазывается выражение вида:.

Определение 3. Вектораназываютсялинейно независимыми, если, из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинацияс этимиявляется нулевым векторомV, т.е.. Вектора, не являющиеся линейно зависимыми, называютсялинейно независимыми. Другими словами,называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементомVлишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство.

1. Аналогично доказательству из §8.

2. Если и– любое, например,линейно зависимы.

3. Если – линейно зависимы, тоодновременно неравные нулю, так чтои хотя бы одно изотлично от нулялинейно зависимы. ч.т.д.

Пример.Рассмотрим линейное пространстваи докажем, чтоnэлементов извида,,…,линейно независимы, а добавление еще одного элементаприводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинациюс. Имеем. Вектор справа равен нулю, если все, т.е.– линейно независимы.

Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1, достаточно показать, чтоx – линейная комбинация. Действительно,.

3^о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Определение 5.Совокупность векторовназывают базисом в, если

1. вектора – линейно независимы;

2. для найдутся. (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису, аназываются координатамиотносительно базиса.

Теорема 2(о единственности разложения по базису). Любой элементможет быть единственным образом разложен по базису, т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство.Пустьи. Тогда. В силу линейной независимости, что и требовалось доказать.

Теорема 3(операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторовиих координаты (относительно любого фиксированного базиса в) складываются; при умножениина, все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство.Пусть– базис в,,. Тогда в силу аксиом линейного пространства,. В силу единственности разложения по базисучто теорема доказана.

Примеры.

1. Базис в – любое ненулевое число.

2. . Базис образуют матрицы,, …,с одним единичным элементом.

3. – множество многочленов степени не вышеn. Базис:,, …,.

4. – см. выше.

4^о. Размерность линейного пространства.

Определение 6.Линейное пространствоназываетсяn–мерным, если

1. В нем nлинейно независимых векторов.

2. векторов линейно зависимы.

Тогда nназывается размерностьюи обозначается.

Определение 7. Линейное пространствоназываетсябесконечномерным, если в немлюбое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4.Если– линейное пространство размерностиn, толинейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство.Пусть– системаnлинейно независимых векторов из. Если– любой вектор из, то поDef 6, вектора– линейно зависимы, т.е.

и среди есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что(т. к. иначе– линейно зависимы)

, т.е.

–линейная комбинация т. к.– произвольный, то–базис.

Теорема  5.Еслиимеет базис, состоящий изnэлементов, то.

Доказательство.Пусть– базис в. Достаточно показать, чтовекторовлинейно зависимы. Разложим их по базису:

,

…

,

где .

Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

.

Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит nи хотя бы одна изстрок не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

5^о. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Определение 6. Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем называютсяизоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора, то векторуотвечает вектор, а векторуприотвечает вектор.

Свойства изоморфных пространств.

1. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.

Доказательство: Если .

2. Если элементам соответствуют, то линейная комбинация векторовравна нулюV, т.е. линейная комбинацияс теми же коэффициентамиравна нулю, т.е..

Доказательство следует из 1.

3. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.

4. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.

Теорема 6. Любые два –мерных линейных пространстваV и над одним и тем же полем изоморфны.

Доказательство. Выберем в V базис ­­­− базисКаждому элементу, поставим в соответствие элементс теми же координатамив базисе.

Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты, которые в свою очередь, определяют единственный элемент.

В силу равноправности V и , соответствует единственный. Легко видеть, что еслив силу введенного соответствия.

Таким образомо все линейные пространства данной размерности –ная полемизоморфны, то есть их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.