Основные методы нахождения ранга матрицы
Используя элементарные преобразования, ранг матрицы можно вычислить одним из следующих способов.
1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к такому виду, когда каждый ее столбец (строка) будет состоять только из нулей или нулей и одной единицы. В этом случае число единиц определяет ранг исходной матрицы.
2. С помощью элементарных преобразований исходную матрицу можно свести к треугольной. Если при этом на главной (побочной) диагонали полученной матрицы нет нулевых элементов, то ее определитель отличен от нуля.
3. Метод окаймляющих миноров. Минор Mпорядка k + 1, содержащий минор M порядка k, называетсяокаймляющим минор M. Если у матрицы А существует минор M, а все окаймляющие его миноры M, тоr(A)k.
9) Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)называется система вида:
Упорядоченный набор значений называетсярешением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется несовместной.
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Определение. Переменная xi называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной.
Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.
Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.
Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:
Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная xi входит с коэффициентом 1;
Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной xi в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной xi, и равносильную исходной;
Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.
В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:
Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.
10)
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)называется система вида:
Упорядоченный набор значений называетсярешением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется несовместной.
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.