Лабораторна робота № 4.2 Вивчення законів коливання математичного маятника

Мета роботи: вивчити закони гармонічних коливань математичного маятника та переконатись в їх справедливості шляхом зіставлення періодів коливань, одержаних експериментально і теоретичними розрахунками.

Прилади і матеріали: установка для визначення періоду коливань з допомогою фотоелектричного датчика і універсального мілісекундоміра, математичний маятник, набір важків.

Теоретичні відомості

Для підготовки до виконання цієї роботи використати теоретичні відомості лабораторної роботи № 4.1 "Фізичний маятник".

Рис. 1

Як відомо, математичним маятником називається матеріальна точка, або тіло, розмірами якого можна знехтувати, підвішене на нерозтяжній і невагомій нитці. При малих кутах відхилення (див. рис.1) від положення рівноваги, які не перевищують 7-8°, маятник здійснює гармонічні коливання. У цьому випадку період коливань визначається за формулою:

, (1)

де l - довжина маятника;

g - прискорення вільного падіння.

Падіння тіл на землю - одне з проявлень закону всесвітнього тяжіння, за яким сила взаємодії F_гр двох матеріальних точок масою т₁ та т₂ на відстані R одна від одної визначається за формулою:

, (2)

де γ = 6,67·10^-11 Н/м²кг² - гравітаційна стала.

Під дією сили притягання до Землі всі тіла падають з однаковим відносно поверхні Землі прискоренням g. Це означає, що в системі відліку, пов’язаній із Землею, на всяке тіло масою т діє сила:

. (3)

У даному випадку цю систему відліку ми вважаємо інерційною. На основі закону всесвітнього тяжіння прискорення вільного падіння повинно бути рівним

, (4)

де М = 5,96 · 10²⁴ кг - маса Землі;

R - радіус Землі в даному місці.

Визначення величини прискорення вільного падіння дало можливість вирахувати масу Землі, а також її середню густину (ρ = 5,5 · 10³ кг/м³).

За законом тяжіння з віддаленням від Землі прискорення зменшується за формулою:

, (5)

де R₀ = 6,37 · 10⁶ м - середній радіус Землі;

g₀ = 9,81 м/с² — нормальне (стандартне) прискорення.

При вивченні руху тіл відносно земної поверхні необхідно врахувати, що Земля здійснює добове обертання навколо власної осі з кутовою швидкістю . Тому необхідно ввести відцентрову силу інерції:

, (6)

де т - маса тіла;

r - відстань тіла від земної осі (рис.2).

Обмежуючись випадками, коли висота тіл над поверхнею Землі невелика, можна покласти r =Rсоsφ, тому вираз для сили інерції набуде вигляду:

, (7)

де – географічна широта.

Рис. 2

Отже, прискорення вільного падіння тіл відносно Землі обумовлене дією двох сил: гравітаційної сили F_гр і сили інерції F_ін. Результуюча цих двох сил (див. рис.2) називається силою тяжіння і для тіл в інерціальних відносно Землі системах відліку збігається з їх вагою. Величину сили тяжіння (ваги тіла) знайдено за теоремою косинусів:

. (8)

Але вага тіла Р мало відрізняється від сили притягання F_гр, тому що відцентрова сила інерції значно менша F_гр Тому й кут β між напрямками сил F_гр і Р досить малий, його можна оцінити, скориставшись теоремою синусів , звідки отримується співвідношення

, (9)

де φ - географічна широта;

β - кут відхилення ваги тіла від вертикалі в радіанах.

Аналізуючи формулу (8) та враховуючи (2), (5), (7), бачимо, що вага тіла, а також відповідно прискорення вільного падіння, мають досить складну залежність від кількох параметрів. Тому здебільшого для технічних розрахунків та для визначення зміни прискорення вільного падіння при віддаленні від поверхні Землі користуються наближеною формулою (5), а для знаходження числового значення прискорення g на незначних висотах h (в м) над рівнем моря в залежності від географічної широти φ використовують більш точну, але також наближену формулу:

, (10)

яка була запропонована Міжнародним геодезичним конгресом в 1930 році. Експериментальне числове значення g можна визначити при вивченні коливань фізичного чи математичного маятників.