8.2. Електроємність окремого провідника. Конденсатори. Ємність конденсаторів різної форми

Надаючи провіднику різні електричні заряди можна виявити, що потенціал провідника при цьому змінюється пропорційно величині заряду, тобто

. (8.2.1)

Цю сталу величину було названо електричною ємністю провідника. Таким чином, електрична ємність провідника дорівнює

С = , (8.2.2)

де q – заряд провідника, (додатково наданий провіднику);  - потенціал, під яким перебуває його поверхня.

Якщо провіднику був переданий заряд в 1Кл, а його потенціал при цьому змінився на 1В, то ємність такого провідника дорівнює 1Ф (Фарад).

Ємність у 1Ф досить велика. Практично використовують значно менші, кратні значення ємності:

1мкФ = 10^-6 Ф; 1пФ = 10^-12 Ф.

У випадку провідника сферичної форми електрична ємність буде дорівнювати:

С = ,

але ,

тому

. (8.2.3)

Ємність сферичного провідника визначається величиною його радіуса.

Для прикладу знайдемо радіус сферичного провідника, ємність якого буде дорівнювати 1Ф. З формули (8.2.3) маємо

.

Радіус такої кулі перевищує радіус Землі у 1400 разів.

Для практичних цілей ємність окремого провідника використовувати недоцільно через великі розміри. У цьому випадку використовують системи із двох окремих провідників, які називаються конденсаторами. Обидва провідники конденсатора заряджаються рівними за величиною і протилежними за знаком електричними зарядами.

Конденсатори бувають різні. Найбільш широко використовуються плоскі , циліндричні й сферичні конденсатори.

Для кожного типу конденсаторів справедливе співвідношення

, (8.2.4)

де - різниця потенціалів між двома окремими провідниками конденсатора;q – заряд кожного знаку на провідниках.

Знайдемо ємності окремих типів конденсаторів.

Плоский конденсатор

На рис.8.2 схематично зображений плоский конденсатор.

Рис.8.2

Плоский конденсатор складається із двох паралельних пластин площею Sкожна, які розміщені на відстаніdодна від одної. Заряди окремих пластин мають однакову поверхневу густину, тобто

. (8.2.5)

Для знаходження різниці потенціалів у формулі (8.2.4) та визначення ємності плоского конденсатора скористаємось формулою (7.3.2) зв’язку напруженості електричного поля із потенціалом, тобто

Е = . (8.2.6)

Напруженість електричного поля між двома пластинами плоского конденсатора перевищує напруженість електричного поля біля однієї площини у два рази (поля обох пластин збігаються за напрямком, а тому у відповідності з принципом суперпозиції накладаються). Тому у відповідності з формулою (6.3.3) маємо

, (8.2.7)

де - поверхнева густина зарядів.

Підставимо (8.2.7) у (8.2.6) і інтегруємо одержаний результат

,

,

. (8.2.8)

Підставимо (8.2.8) у (8.2.4), одержимо

.

Ємність плоского конденсатора буде дорівнювати

. (8.2.9)

З формули (8.2.9) видно, що величина ємності плоского конденсатора зростає при зростанні відносної діелектричної сталої і площі пластини конденсатораS, а також при зменшенні відстані між пластинами конденсатораd. Електрична константа вакууму дорівнює₀= 8,85 ·10^-12Ф/м.

Циліндричний конденсатор

Циліндричний конденсатор складається із двох циліндрів, розміщених один у одному, розділених шаром діелектричної речовини (рис.8.3).

Рис 8.3

Для знаходження ємності циліндричного конденсатора скористаємось формулами (8.2.4), (8.2.6) і (6.3.6). У цьому випадку внутрішню циліндричну частину можна вважати тонким, дуже довгим циліндром. Напруженість електричного поля біля такого циліндра на відстані rвід осі у відповідності з формулою (6.3.6) буде дорівнювати (рис.8.4)

. (8.2.10)

Рис.8.4

Підставимо вираз (8.3.10) у формулу (8.2.6), одержимо

.

Інтегруємо цей вираз в межах rвідr₁доr₂

,

(8.2.11)

де .

Вираз (8.2.11) підставимо у (8.2.4), одержимо ємність циліндрич-ного конденсатора

(8.2.12)

В цій формулі r₁,r₂іh– параметри конденсатора у відповідності з рис.8.3 і 8.4. Діелектрична проникність- залежить від властивостей діелектрика між циліндрами. Константа₀= 8,85 ·10^-12Ф/м.

Сферичний конденсатор

Сферичний конденсатор складається з двох сферичних поверхонь, розділених шаром діелектричної речовини з діелектричною проникністю (рис.8.5).

Рис.8.5

Напруженість електричного поля на відстані rможна розрахувати, як для точкового заряду

. (8.2.13)

Знайдемо ємність сферичного конденсатора за аналогією з розрахунками ємності плоского і циліндричного конденсаторів.

,

,

або

(8.2.14)

Вираз (8.2.14) підставимо у (8.2.4), одержимо ємність сферичного конденсатора

. (8.2.15)

Конденсатори різних типів мають досить широке практичне використання.

З’єднання конденсаторів

У випадку, коли до батареї конденсаторів прикладена стала різниця потенціалів ( =const), будемо мати:

а). паралельне з’єднання конденсаторів

. (8.2.16)

б). послідовне з’єднання конденсаторів

,

звідки

. (8.2.17)