За теоремою Гаусса

. (6.3.14)

Прирівнюємо праві частини (6.3.13) і (6.3.14), одержимо

= .

Звідки

, (6.3.15)

що збігається з формулою (6.3.6)

Висновок. Теорема Гаусса значно спрощує розрахунки, але має дуже вузькі рамки використання. Більш загальним, універсальним методом розрахунків напруженості електричного поля є метод суперпозиції, який у кінцевому випадку зводиться до інтегрування.

Лекція 7 потенціал електростатичного поля

7.1. Циркуляція вектора напруженості .Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду.

7.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції.

7.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля . Приклади розрахунку полів.

7.1. Циркуляція вектора напруженості. Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду

Знайдемо роботу переміщення точкового заряду q_о в електричному полі точкового заряду q із точки 1 в точку 2 (рис 7.1)

Рис 7.1

На елементарному переміщенні d силою виконується елементарна робота, яка дорівнює

А = = F·dl·cos = dr, (7.1.1)

де dr=dl cos  - проекція переміщення d на напрям дії сили.

Інтегруємо вираз ( 7 .1 .1) в межах від r₁ до r₂ , одержимо

A_1,2 = = . ( 7. 1. 2)

З формули ( 7 .1 .2) видно, що робота переміщення точкового заряду q_о із точки 1 в точку 2 поля статичного заряду q не залежить від форми шляху, а визначається лише положенням початкової й кінцевої точок.

Цей висновок є доказом того, що поле точкового заряду є потенціальним, а діючі в цьому полі сили є консервативними.

У випадку замкнутого контуру робота переміщення точкового заряду q_о в полі статичного заряду q буде дорівнювати нулю (рис 7.2).

Рис. 7.2

Елементарна робота сил поля на шляху d дорівнює

q d = q_oEcosdl = q_oE_edl,

де E_e = Ecos.

Робота перенесення точкового заряду q_o по замкнутому контуру в цьому випадку буде дорівнювати нулю

q_o = q_o =0. ( 7.1 .3)

Оскільки q_o 0, то

= 0. ( 7. 1 .4)

Вираз (7. 1. 4) називають теоремою про циркуляцію вектора електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру.

Силове поле, яке наділене такими властивостями, називають потенціальним полем.

Формула (7.1.4) має використання лише для статичних (нерухомих) зарядів.

В потенціальних полях робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії.

Скориставшись формулою (7.1.2), виразимо роботу сил поля по переміщенню точкового заряду q_o з точки 1 в точку 2 поля заряду q, через потенціальні енергії заряду q_o, в цих точках ( рис 7 .1)

A_1,2 = = - = П₁ – П₂, (7.1.5)

де П₁ = - потенціальна енергія заряду q₀ в точці 1 поля точкового заряду q;

П₂ = - потенціальна енергія заряду q_o в точці 2 поля точкового заряду .

Або виразимо цю роботу через зменшення потенціальної енергії, при перенесенні заряду q₀ з точки 1 в точку 2, тобто

А_1,2 = - ( П₂ – П₁ ) . ( 7. 1. 6)

Якщо поле створюється системою точкових зарядів, то потенціальна енергія заряду q_o, в полі системи точкових зарядів q,_i матиме вигляд

П = q_{o .} (7.1 .7)

Важливо знати, що для однойменних зарядів потенціальна енергія їх взаємодії завжди додатна, а потенціальна енергія взаємодії різнойменних зарядів завжди від’ємна.