Модификации метода Ньютона

Одна из модификаций метода Ньютона заключается в том, что производную от функции f(x) определяют лишь один раз для начальной точки итерационного процесса (рис. 3.5 а):

.

При таком способе решения уравнения скорость сходимости уменьшается, иногда существенно. Эту модификацию метода целесообразно применять в том случае, когда вычисление производной связано с большими затратами вычислительных ресурсов (времени, оперативной памяти), либо когда аналитический вид функции f(x) неизвестен, что часто бывает при решении прикладных инженерных проблем. Кроме того, практически всегда можно подобрать начальное значение таким образом, что , то есть не будет аварийной остановки вычислительного алгоритма.

Другая модификация (метод секущих) заключается в замене производной функции f(x) ее разностным аналогом (рис. 3.5 b):

.

В этом случае получена двухточечная схема, то есть для начала расчетов необходимо задать две начальные точки .

Пример 3.3. Определить корни уравнения

.

Точное решение этого уравнения: .

Для использования метода простых итераций представим это уравнение в форме (3.2):

Для проверки условий сходимости в качестве константы условия Липшица возьмем

.

Очевидно, что 0 < C < 1 на интервале (-2, 2), r = 2. Центр интервала a = 0. При этих параметрах условие теоремы

не выполняется, чем объясняется отсутствие сходимости решения, например, при начальном приближении .

Поскольку

,

алгоритм метода Ньютона в соответствии с выражением (3.6) записывается в виде:

.

Результаты вычисления по обоим алгоритмам приведены в табл. 3.3.

x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ x₀ x₃ x₂ x₁ x₀ a b

Рис. 3.5. Схемы модифицирования метода Ньютона:

a - с начальным значением касательной; b - метод секущих

Возможно, что на заданном отрезке может оказаться несколько корней. В этом случае итерационный процесс позволит вычислить какой-то один корень уравнения. Для отделения корней в некоторых случаях можно воспользоваться следующим приемом.

Пусть найден корень . Построим функцию

.

Рассмотрим . Вычисление этого предела приводит к неопределенности типа . Согласно правилу Лопиталя¹ [10],

при условии ограниченности производной функции, то есть в случае . При отсутствии кратных корней новая функция и “слева”, и “справа” от точки будет иметь один и тот же знак. После нахождения следующего корня строится функция

,

и так далее.

Таблица 3.3.

Решение уравнения методами Ньютона и простых итераций при различных начальных приближениях

Номер итерации	Метод простых итераций			Метод Ньютона
1	0,5	2,5	4,0	0,0	4,0
2	0,821	2,3125	4,75	0,75	3,25
3	0,915039	2,0869	6,3906	0,975	3,025
4	0,9593241	1,8388	10,96	0,9996951	3,0003048
5	0,9800756	1,5953	30,78	0,9999999	3,0
6	0,990137	1,3862	273,6	1,0	-
7	0,9950928	1,2304	14115,4	-	-
8	0,9975524	1,1285	49811068	-	-
9	0,9987777	1,0684		-	-
10	0,9993892	1,0354		-	-
11	0,9996947	1,0180		-	-
12	0,9998473	1,0091		-	-

1 Дополнительно методы решения нелинейных уравнений рассматриваются в разделе, посвященном интерполяции функций.

2 Встречаются иные названия этого метода - метод бисекции, дихотомии.

1Липшиц Рудольф Отто Сигизмунд [14.5.1832 - 7.10.1903] - немецкий математик. С 1864 года является профессором Боннского университета. В 1900 году избран членом - корреспондентом Парижской академии наук.

Функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [a, b], если - константа, [8].

1Больцано Бернард [5.10.1781 - 18.12.1848] - чешский математик, философ, теолог. В 1800 году закончил философский, а в 1805 - теологический факультеты Пражского университета. В этом же университете с 1805 года возглавлял кафедру истории религии, откуда был уволен в 1820 году за вольнодумство и лишен права публичных выступлений. После этого занимался исследованием в области логики и математики.

Коши Огюстен Луи [21.8.1789 - 23.5.1857] - французский математик. В 1807 году окончил Политехническую школу, в 1810 году - Школу мостов и дорог в Париже. С 1810 по 1813 годы работал инженером в Шербурге. С 1816 года был избран членом Парижской академии наук. С 1816 по 1830 год преподавал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс. С 1831 года стал иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1848 году начал преподавать в Парижском университете.

Признак сходимости числовой последовательности Больцано-Коши [8]: для того, чтобы последовательность вещественных чисел имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы при .

1 Лагранж Жозеф Луи [25.11.1736 - 10.4.1813] - французский математик и механик. В 1755 году стал профессором Туринской артиллерийской школы. В 1759 году был избран членом Берлинской академии наук. С 1766 года был директором Математического класса Берлинской академии наук, с 1772 года - членом Парижской академии наук, с 1776 года - иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1795 году стал профессором Парижской Нормальной школы, с 1797 года - профессором Политехнической школы.

Теорема Лагранжа [10]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри этого интервала существует хотя бы одна точка , для которой .

2 Ньютон Исаак [4.1.1643 - 31.3.1727] - английский физик и математик. В 1655 году начал учебу в Грантемской школе, в 1661 году поступил в Тринити - колледж Кембриджского университета. В 1668 году ему была присвоена степень магистра. С 1669 по 1701 годы занимал почетную люкасовскую физико-математическую кафедру. С 1672 года был членом Лондонского королевского общества, президентом которого стал в 1703 году. В 1695 году получил должность смотрителя Монетного двора. В 1699 году был избран иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1705 году за научные труды был возведен в дворянское звание.

3 Тейлор Брук [18.8.1685 - 29.12.1731] - английский математик. В 1712 году был избран членом Лондонского королевского общества.

1 Лопиталь Гийом Франсуа Антуан де [1661 - 1704] - французский математик, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

85