Метод Ньютона2
Для поиска корней уравнения (3.1) в окрестности решения выберем точку x и разложим функцию f(x) в ряд Тейлора3 возле этой точки:
.
Отсюда следует приближенное равенство
,
которое с учетом
позволяет получить выражение
,
приводящее к итерационному процессу следующего вида:
. (3.6)
Очевидно, что метод Ньютона можно
рассматривать как вариант метода простых
итераций, при условии
.
Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рис. 3.4, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:
.
f(x)
f(x0)
f(x1)
x3
x2
x1 x0
x
f(x2)
Рис. 3.4. Геометрический смысл процедуры метода Ньютона
Пример 3.2. Требуется определить
корни уравнения
.
Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура
.
Поскольку
,
.
Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу
.
Для а=2 “точное” решение
.
Результаты расчетов приведены в табл.
3.2.
Таблица 3.2
Последовательность получения приближенного решения
уравнения
методом Ньютона
-
Номер итерации
Приближения решения
1
2,0
-10,0
2
1,5
-5,1
3
1,416666667
-2,746078431
4
1,414215686
-1,737194874
5
1,414213562
-1,444238095
6
1,4142135624
-1,414525655
7
1,4142135624
-1,414213597
8
1,4142135624
-1,4142135624
Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие предположения:
- - корень уравнения f(x) = 0;
- первая производная
;
- вторая производная
непрерывна в А;
- константа
,
где
.
Тогда, если , то метод Ньютона сходится, причем
. (3.7)
Доказательство.
Для оценки погрешности решения
воспользуемся формулой Тейлора для
функции f(x) возле точки
:
.
В силу получаем соотношение
.
С другой стороны, согласно методу Ньютона,
.
Отсюда,
, (3.8)
то есть имеет место квадратичная сходимость.
Пусть
.
Из формулы (3.8) получаем
,
то есть оценка (3.7) выполнена для N=1. Допустим, что формула (3.7) верна для произвольного q. С учетом условия С<1, имеем
,
то есть
,
а следовательно определены
.
Из соотношения (3.8) получаем
Согласно (3.7)
.
С учетом этого, из предыдущего выражения следует:
Но это как раз и означает, что формула (3.7) справедлива при N = q+1.
В силу C<1 из выражения (3.7) следует сходимость метода Ньютона:
,
что и требовалось доказать.