3.НелинейныЕ уравнения

Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида y = f(x). Требуется определить все те значения аргумента , которые обращают функцию в нуль:

. (3.1)

Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило (за небольшим исключением: квадратные, кубические, некоторые трансцендентные уравнения) используются итерационные методы.

Первоначально рассматриваются методы решения одного нелинейного уравнения, а затем - системы нелинейных уравнений.

Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2

Метод основан на одной из теорем математического анализа. Согласно [10], функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения (3.1). Первоначально проверяются значения заданной функции на концах отрезка. В случае, если

,

один из концов отрезка является искомым корнем уравнения.

Пусть на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение

.

Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, , и вычисляется значение функциив этой точке. Далее сравниваются знаки функции в точкеи, например, в левой точкеотрезка.

Если имеет место соотношение (рис. 3.1), то корень следует искать на отрезке. В противном случае - корень разыскивается на отрезке. В результате выполненной операции исходный отрезок сократился вдвое.

f(x₁)

f(x₃) f(x₂)

f(x₄)

x₀ x₃ x₂ x₁

x₄

f(x₀)

Рис. 3.1. Схема метода половинного деления

Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам,

и так далее.

Для прекращения вычислительной процедуры применяются различные критерии:

- если функция достаточно “пологая”, имеет смысл использовать условие (рис.3.2a)

;

- если функция “круто” меняет свое значение, целесообразно применять условие (рис.3.2b)

.

a b

Рис. 3.2. Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения

В случае, если заранее неизвестен характер “поведения” функции, имеет смысл использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.

Метод простых итераций

Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением вида

. (3.2)

После этого строится итерационный процесс

(3.3)

при некотором заданном значении . Для приведения выражения (3.1) к требуемому виду (3.2) можно воспользоваться простейшим приемом:

Если в выражении (3.2) положить , можно получить стандартный вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения:

.

Пример 3.1. Решим уравнение cos(x) - x = 0. Представим это уравнение в виде

.

Результаты расчетов приведены в табл. 3.1. Ход итерационного процесса отражен на рис. 3.3.

Таблица 3.1

Результаты итерационного вычисления корня уравнения cos(x) - x = 0

Номер итерации	Аргумент x
1	0
2	1,0
3	0,540302306
4	0,857553216
5	0,654289791
6	0,793480359
7	0,701368774
8	0,763959683
9	0,722102425
10	0,750417762
...	...
30	0,739078886
31	0,739089341

Корень уравнения (с абсолютной погрешностью не более ) равен 0,739085133.

Рис. 3.3. Поиск корня нелинейного уравнения cos(x) - x = 0

Рассмотрим отрезок длиной 2r с центром в точке a: .

Теорема 3.1.Если функцияна отрезке А удовлетворяет условию Липшица¹с константой 0 < С < 1, причем

, (3.4)

то уравнение (3.2) имеет на отрезке А единственное решение , метод простой итерациисходится кпри любоми имеет место оценка

. (3.5)

Доказательство.

Докажем “по индукции”, что определяемые в соответствии с формулой (3.2) величины .

по условию теоремы.

Пусть ; покажем, что и.

В силу имеем

то есть .

Теперь оценим разность получаемых решений для произвольного n:

.

Отсюда получаем

.

Для двух произвольных значений (для определенности положим p > q) на основании этого соотношения имеем

При выводе последнего соотношения использована формула для суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем С, а также условие, что 0 < C < 1, и тем более .

Очевидно, что при имеет место

,

и в соответствии с признаком Больцано - Коши¹

.

Переходя к пределу в соотношении , в силу непрерывности функцииполучаем:

,

то есть - решение уравнения (3.2).

Теперь покажем, что получаемое решение единственно. В самом деле, пусть - два различных решения уравнения (3.2). Тогда

,

что может иметь место при условии 0 < C < 1 лишь в случае .

Оценим погрешность метода простой итерации после выполнения N итераций:

,

откуда получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1.Если, а также имеет место соотношение

,

то уравнение (3.2) имеет единственное решение, метод простых итераций сходится и имеет место оценка (3.5).

Действительно, согласно теореме Лагранжа¹,

,

то есть в качестве константы условия Липшица можно принять

.

В этом случае условия теоремы (3.1) выполняются и все ее утверждения имеют место.