X5 x4 x3 x2 x1 x0 x3 x2 x1 x0 a b

Рис. 3.5. Схемы модифицирования метода Ньютона:

a - с начальным значением касательной; b - метод секущих

Возможно, что на заданном отрезке может оказаться несколько корней. В этом случае итерационный процесс позволит вычислить какой-то один корень уравнения. Для отделениякорней в некоторых случаях можно воспользоваться следующим приемом.

Пусть найден корень . Построим функцию

.

Рассмотрим . Вычисление этого предела приводит к неопределенности типа. Согласно правилу Лопиталя¹[10],

при условии ограниченности производной функции, то есть в случае . При отсутствии кратных корней новая функция и “слева”, и “справа” от точкибудет иметь один и тот же знак. После нахождения следующего корнястроится функция

,

и так далее.

Таблица 3.3.

Решение уравнения методами Ньютона и простых итераций при различных начальных приближениях

Номер итерации	Метод простых итераций			Метод Ньютона
1	0,5	2,5	4,0	0,0	4,0
2	0,821	2,3125	4,75	0,75	3,25
3	0,915039	2,0869	6,3906	0,975	3,025
4	0,9593241	1,8388	10,96	0,9996951	3,0003048
5	0,9800756	1,5953	30,78	0,9999999	3,0
6	0,990137	1,3862	273,6	1,0	-
7	0,9950928	1,2304	14115,4	-	-
8	0,9975524	1,1285	49811068	-	-
9	0,9987777	1,0684		-	-
10	0,9993892	1,0354		-	-
11	0,9996947	1,0180		-	-
12	0,9998473	1,0091		-	-

1Дополнительно методы решения нелинейных уравнений рассматриваются в разделе, посвященном интерполяции функций.

2Встречаются иные названия этого метода - метод бисекции, дихотомии.

1Липшиц Рудольф Отто Сигизмунд [14.5.1832 - 7.10.1903] - немецкий математик. С 1864 года является профессором Боннского университета. В 1900 году избран членом - корреспондентом Парижской академии наук.

Функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [a, b], если- константа, [8].

1Больцано Бернард [5.10.1781 - 18.12.1848] - чешский математик, философ, теолог. В 1800 году закончил философский, а в 1805 - теологический факультеты Пражского университета. В этом же университете с 1805 года возглавлял кафедру истории религии, откуда был уволен в 1820 году за вольнодумство и лишен права публичных выступлений. После этого занимался исследованием в области логики и математики.

Коши Огюстен Луи [21.8.1789 - 23.5.1857] - французский математик. В 1807 году окончил Политехническую школу, в 1810 году - Школу мостов и дорог в Париже. С 1810 по 1813 годы работал инженером в Шербурге. С 1816 года был избран членом Парижской академии наук. С 1816 по 1830 год преподавал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс. С 1831 года стал иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1848 году начал преподавать в Парижском университете.

Признак сходимости числовой последовательности Больцано-Коши [8]: для того, чтобы последовательность вещественных чисел имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы при.

1Лагранж Жозеф Луи [25.11.1736 - 10.4.1813] - французский математик и механик. В 1755 году стал профессором Туринской артиллерийской школы. В 1759 году был избран членом Берлинской академии наук. С 1766 года был директором Математического класса Берлинской академии наук, с 1772 года - членом Парижской академии наук, с 1776 года - иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1795 году стал профессором Парижской Нормальной школы, с 1797 года - профессором Политехнической школы.

Теорема Лагранжа [10]: если функция f(x)непрерывна в замкнутом интервалеи дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри этого интервала существует хотя бы одна точка, для которой.

2Ньютон Исаак [4.1.1643 - 31.3.1727] - английский физик и математик. В 1655 году начал учебу в Грантемской школе, в 1661 году поступил в Тринити - колледж Кембриджского университета. В 1668 году ему была присвоена степень магистра. С 1669 по 1701 годы занимал почетную люкасовскую физико-математическую кафедру. С 1672 года был членом Лондонского королевского общества, президентом которого стал в 1703 году. В 1695 году получил должность смотрителя Монетного двора. В 1699 году был избран иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1705 году за научные труды был возведен в дворянское звание.

3Тейлор Брук [18.8.1685 - 29.12.1731] - английский математик. В 1712 году был избран членом Лондонского королевского общества.

1Лопиталь Гийом Франсуа Антуан де [1661 - 1704] - французский математик, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

85