Метод Ньютона2

Для поиска корней уравнения (3.1) в окрестности решения выберем точку x и разложим функцию f(x) в ряд Тейлора³возле этой точки:

.

Отсюда следует приближенное равенство

,

которое с учетом

позволяет получить выражение

,

приводящее к итерационному процессу следующего вида:

. (3.6)

Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, при условии .

Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рис. 3.4, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:

.

f(x)

f(x₀)

f(x₁)

f(x₂)



x₃x₂x₁x₀x

Рис. 3.4. Геометрический смысл процедуры метода Ньютона

Пример 3.2.Требуется определить корни уравнения.

Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура

.

Поскольку

,

.

Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу

.

Для а=2 “точное” решение . Результаты расчетов приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Последовательность получения приближенного решения

уравнения методом Ньютона

Номер итерации	Приближения решения
1	2,0	-10,0
2	1,5	-5,1
3	1,416666667	-2,746078431
4	1,414215686	-1,737194874
5	1,414213562	-1,444238095
6	1,4142135624	-1,414525655
7	1,4142135624	-1,414213597
8	1,4142135624	-1,4142135624

Теорема 3.2.Пусть выполнены следующие предположения:

- - корень уравнения f(x) = 0;

- первая производная ;

- вторая производная непрерывна в А;

- константа , где.

Тогда, если , то метод Ньютона сходится, причем

. (3.7)

Доказательство.

Для оценки погрешности решения воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x) возле точки :

.

В силу получаем соотношение

.

С другой стороны, согласно методу Ньютона,

.

Отсюда,

, (3.8)

то есть имеет место квадратичная сходимость.

Пусть . Из формулы (3.8) получаем

,

то есть оценка (3.7) выполнена для N=1. Допустим, что формула (3.7) верна для произвольного q. С учетом условия С<1, имеем

,

то есть , а следовательно определены

.

Из соотношения (3.8) получаем

Согласно (3.7)

.

С учетом этого, из предыдущего выражения следует:

Но это как раз и означает, что формула (3.7) справедлива при N = q+1.

В силу C<1 из выражения (3.7) следует сходимость метода Ньютона:

,

что и требовалось доказать.

Модификации метода Ньютона

Одна из модификаций метода Ньютона заключается в том, что производную от функции f(x) определяют лишь один раз для начальной точки итерационного процесса (рис. 3.5 а):

.

При таком способе решения уравнения скорость сходимости уменьшается, иногда существенно. Эту модификацию метода целесообразно применять в том случае, когда вычисление производной связано с большими затратами вычислительных ресурсов (времени, оперативной памяти), либо когда аналитический вид функции f(x) неизвестен, что часто бывает при решении прикладных инженерных проблем. Кроме того, практически всегда можно подобрать начальное значение таким образом, что, то есть не будет аварийной остановки вычислительного алгоритма.

Другая модификация (метод секущих) заключается в замене производной функции f(x) ее разностным аналогом (рис. 3.5 b):

.

В этом случае получена двухточечнаясхема, то есть для начала расчетов необходимо задать две начальные точки.

Пример 3.3.Определить корни уравнения

.

Точное решение этого уравнения: .

Для использования метода простых итераций представим это уравнение в форме (3.2):

Для проверки условий сходимости в качестве константы условия Липшица возьмем

.

Очевидно, что 0 < C < 1 на интервале (-2, 2), r = 2. Центр интервала a = 0. При этих параметрах условие теоремы

не выполняется, чем объясняется отсутствие сходимости решения, например, при начальном приближении .

Поскольку

,

алгоритм метода Ньютона в соответствии с выражением (3.6) записывается в виде:

.

Результаты вычисления по обоим алгоритмам приведены в табл. 3.3.