Брянская государственная инженерно-технологическая академия

Кафедра математики

Утверждены

Редакционно-издательским

Советом БГИТА

Протокол № 11 от

24.12.2004 г.

Методические указания и задания к выполнению

расчетно-графической работы по теме:

"Приближенные методы решения

дифференциальных уравнений"

для студентов дневной формы обучения

всех специальностей

Брянск 2004

Составители: ассистент Нечистик В.В.,

ст. преподаватель Тайц В.И.,

доцент Камозина О.В.

Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Евтюхов К.Н.

Рекомендованы редакционно-издательской комиссией механического факультета

Протокол №1 от 28.09.2004г.

Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому важное значение приобретают приближенные методы решения.

Существуют два метода численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

1. Метод Эйлера

Для данного уравнения 1-го порядка

(1)

можно составить таблицу приближенных значений частного решения, удовлетворяющего начальному условию

(2)

или приближенно вычертить интегральную кривую на некотором отрезке[].

По методу Эйлера данный отрезок [] разбивается точками на n частичных отрезков.

На первом частичном отрезке [] искомая интегральная кривая, проходящая через известную точку M₀() заменяется касательной к ней в точке

,

Откуда при получается приближенное значение искомого решения уравнения в точке

.

Далее тем же способом для отрезка [] находим приближенное значение искомого решения в точке

.

Продолжая этот процесс, последовательно находим приближенные значения искомого решения в точках .

С увеличением , при достаточно малой длине частичных отрезков, этим методом можно достигнуть заданной точности решения.

Данный отрезок [] удобно разделить на частичные отрезки одинаковой длины

(шаг).

Тогда все последовательные приближенные значения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), вычисляются по рекуррентной формуле

.

Таким образом, по методу Эйлера интегральную кривую, проходящую через точку , заменяют ломаной (ломаной Эйлера), каждый отрезок которой проведен по направлению поля, определенного уравнением (1). Иными словами, от предыдущей вершины ломаной к последующей двигаются по касательной к интегральной кривой, проведенной через начальную точку каждого отрезка.

Недостатки метода Эйлера:

1. Малая точность при значительном шаге большой объем работ при малом шаге.

2. Систематическое накопление ошибок.

Поэтому метод Эйлера применяют лишь для грубых приближений.

Расчет ведется по следующей схеме:

0
1
2
…	…	…	…	…
-1