1.8. Корреляционное отношение

Ранее рассматривалась теснота линейной корреляционной связи. Вопрос: как оценить тесноту любой корреляционной связи?

Так как все значения признака разбиты на группы, можно представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсии.

. (9)

Определение. Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

, (10)

где – частота значенийпри, – номер группы, , –групповая средняя группы , – объем группы .

Определение. Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую групповых дисперсий, взвешенную по объемам групп.

, (11)

–объем всей совокупности.

Определение. Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общeй средней.

, (12)

где – общая средняя.

Определение. Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей признака.

. (13)

Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят корреляционные характеристики:

1. –выборочное корреляционное отношение к .

(14)

2. –выборочное корреляционное отношение к .

(15)

1.9. Свойства корреляционного отношения

1. .

2. Если , то признак с признаком корреляционной зависимостью не связан.

3. Если , то признак с признаком связан функциональной зависимостью.

4. Выборочное корреляционное отношение не менее абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции: .

5. Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

1.10. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам одинаковых объемов

Для проверки гипотезы об однородности нескольких дисперсий при равных объемах всех рассматриваемых выборок,может быть использован– критерий Кочрена.

Пусть – количество выборочных дисперсий, однородность которых проверяется. Обозначим эти дисперсии.

Вычисляется расчетное – отклонение по формуле:

. (16)

В числителе этой формулы стоит наибольшая из рассматриваемых дисперсий, а в знаменателе – сумма всех дисперсий. Далее обращаются к таблицам распределения Кочрена.

По выбранному уровню значимостью , числу степеней свободы каждой выборкии по количеству выборок, из этой таблицы отыскиваем величину. Если, то можно принять гипотезу об однородности дисперсии, в противном случае гипотеза отвергается.

1.11. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам различного объема

Пусть проверяется однородность некоторого числа дисперсий. Но эти дисперсии найдены по выборкам различного объема. В этом случае используется критерий Бартлетта.

Предварительно вычисляют дисперсию воспроизводимости , представляющую собой среднее взвешенное значение дисперсий, взятое с учетом числа степеней свободы:

, (17)

где – число степеней свободы соответствующих дисперсий, – сумма всех степеней свободы: .

Рассчитываем величину

, , . (18)

Затем по таблице «Критерий » при уровне значимости и числе степеней свободы, отыскивают значение.

Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если .

Замечание. В данной проверке требуется, чтобы объем каждой выборки был не менее четырех.

Замечание. Критерий Бартлетта чувствителен к отклонениям от нормального распределения.