3.2 Синтез ких-фильтров методом окон. Постановка задачи

а) Идеальный ФНЧ

б) Идеальный ФВЧ

в) Идеальный ПФ

г) Идеальный РФ

Рисунок 3.1 – Частотные характеристики идеальных фильтров

Без потери общности зададимся целью рассчитать коэффициенты (импульсную характеристику) фильтра НЧ (рисунок 3.1,а). Рассматриваемый фильтр имеет идеальную АЧХ, периодически повторяющуюся с частотой дискретизации, а потому его частотная характеристика может быть представлена бесконечным рядом Фурье:

; (3.1)

Если известна, томожно получить, применив обратное преобразование Фурье к

; (3.2)

Допустив, что характеристика не равна нулю отдо, упрощаем интегрирование и получаем следующую импульсную характеристику:

(3.3)

Импульсные характеристики идеальных фильтров верхних частот, полосовых и режекторных приведены в таблице 3.1. Импульсная характеристика фильтра НЧ изображена на рисунке 3.2, из которого видно, что симметрична относительно, т.е., так что фильтр будет иметь линейную (в данном случае нулевую) фазовую характеристику.

Таблица 3.1 – Идеальная импульсная характеристика стандартных частотно-избирательных фильтров

Рисунок 3.2 – Импульсная характеристика

идеального фильтра нижних частот

Описанный простой подход связан с некоторыми проблемами. Важнейшая из них следующая: хотя характеристика уменьшается при удалении от точки, она длится теоретически до. Следовательно, полученный фильтр не является КИХ-фильтром. Кроме того, такой фильтр физически нереализуем, т.к.имеет отсчеты при, т.е. в нем реакция предшествует воздействию.

Простейший путь конструирования физически возможной передаточной функции состоит в исключении всех членов ряда (2.3), имеющих отрицательный индекс и ограничения (усечения) импульсной характеристики сверху дочленов.

3.2.1 ПРЯМОУГОЛЬНОЕ ОКНО

Наиболее простой и непосредственный способ усечения идеальной импульсной характеристики – это оставить неизмененными её значения в пределах некоторого интервала, скажем, отдо. Это эквивалентно умножениюна прямоугольную функцию, задаваемую выражением:

(3.4)

как показано на рисунке 3.3:

Рисунок 3.3 – Прямоугольное окно

Результирующая импульсная характеристика имеет длину. Импульсная характеристика после обработки окном (рисунок 3.4,а) будет физически нереализуемой, т.е. такой, что имеет ненулевые значения при. Для того, чтобы сделать её физически реализуемой, необходимо сдвинуть начало отсчета времени до первого нулевого индекса и переиндексировать составляющие. Этот процесс проиллюстрирован на рисунке 3.4

Рисунок 3.4 Импульсная характеристика

а) результат обработки прямоугольным окном

б) после переиндексации

ПРИМЕР 3.1

Найти импульсную характеристику после обработки прямоугольным окном для идеального ФНЧ с частотой среза .

Положим .

РЕШЕНИЕ:

Для

Импульсная характеристика фильтра после обработки прямоугольным окном и переиндексации показана на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5,а – Импульсная характеристика

фильтра для примера 3.1

Результат процедуры усечения с использованием (3.4) позволяет получить частотную характеристику фильтра (рисунок 3.5,б)

(3.5,а)

и передаточную функцию . (3.5,б)

Казалось бы, решение найдено. Действительно, подбирая значения и контролируя поведение АЧХ, за несколько интерраций можно найти такое, при котором требования к заданному фильтру будут выполнены. Однако, усечение ряда Фурье приводит к существенным ошибкам, которые выражаются в появлении пульсаций вблизи частоты среза. Максимум этих пульсаций слева и справа составляетот АЧХ и остается таковым вне зависимости от величины. Этот феномен получил название Явление Гиббса.

В результате формируются пульсации АЧХ как в полосе задерживания, так и в полосе пропускания; кроме того образуется переходная полоса , ширина которой тем меньше, чем больше значения. Рисунок 2.6 показывает импульснуюи частотную характеристики, полученные при использовании прямоугольного окна для.

Рисунок 3.5,б – Амплитудно-частотная характеристика

фильтра для примера 3.1

а) Импульсная характеристика,

б) Амплитудно-частотная характеристика,

Рисунок 3.6 – Импульсная и амплитудная характеристики идеального усеченного фильтра с линейной фазовой характеристикой при

Можно показать, что причиной появления всплесков и провалов в характеристике КИХ-фильтра является частотная характеристика прямоугольного окна . График этой функции будет иметь форму, показанную на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 – Частотная характеристика прямоугольного окна

Это быстроколеблющаяся функция, резко спадающая по амплитуде. Область с максимальной амплитудой называется главным лепестком, а остальные области – боковыми лепестками. Ширина всех лепестков, включая главный, одинакова и равна , причем с увеличениемширина главного лепестка уменьшается и увеличивается число пульсаций. Так как ширина главного лепестка определяет ширину полосы перехода синтезируемого фильтра, то ясно, что чем больше, тем уже переходная полоса, тем меньше амплитуда пульсаций в области полос пропускания и задерживания при неизменной величине амплитуды пульсацийвблизи частоты среза.

Таким образом, прямоугольное окно позволяет сделать вывод о том, что «хорошее» окно должно обладать двумя свойствами:

1. Ширина главного лепестка частотной характеристики должна быть малой;

2. Энергия боковых лепестков частотной характеристики должна быстро уменьшаться с увеличением частоты .

Ясно что, эти два требования несовместимы и необходим компромиссный вариант.

Если мы хотим разработать фильтры с лучшей аппроксимацией в области перехода, то необходимо использовать окно с более плавной амплитудной характеристикой, чем у прямоугольного окна. В этом случае идеальная импульсная характеристикаперемножается с функцией окна, имеющей конечный размер, в результате чего получается конечная импульсная характеристика реального фильтра.

Был предложен ряд различных окон. Рассмотрим некоторые из них для того, чтобы показать эффект применения окон и их относительные достоинства.

3.2.2 ОКНО БЛЭКМАНА

Окно Блэкмана при использовании для разработки КИХ-фильтров позволяет получить еще меньшее значение колебаний АЧХ в области подавления (уменьшаются до ) по сравнению с окном Хэмминга.

Аналитически оно задаётся выражением:

, (3.9)

.

Однако, ширина главного лепестка в амплитудно-частотной характеристике окна Блэкмана примерно на шире, чем для окна Хэмминга и в три раза шире, чем для прямоугольного окна.

3.2.3 МЕТОДИКА СИНТЕЗА КИХ-ФИЛЬТРОВ МЕТОДОМ ОКОН

Напомним, что отсчеты импульсной характеристики КИХ-фильтров одновременно являются и коэффициентамиего передаточной функции, поэтому задача синтеза сводится к получению импульсной характеристики.

Методика синтеза включает в себя:

1. Задание требований к фильтру. Для этого следует задать «идеальную» или желаемую частотную характеристику фильтра

2. Получить импульсную характеристику желаемого фильтра, найдя для этого Фурье–образ частотной характеристики (формулы 3.2, 3.3). Выражениядля стандартных частотно-избирательных фильтров приведены в таблице 3.1. При этом следует учесть эффект смазывания характеристики, вводимого весовой функцией, из-за которого частота среза получающегося фильтра будет отличаться от представленной в спецификации. Для этого во всех расчетных выражениях дляиследует в качестве частоты среза использовать не, а центр полосы перехода, то естьзаменяют на

.

Конечно же, определение импульсной характеристики зависит от длины ; в свою очередь, выборсвязан с типом используемого окна.

3. Выбрать весовую функцию, которая удовлетворяет требованиям к полосе пропускания или затуханию, а затем определить число коэффициентов фильтра , использовав подходящее выражение для связи длины фильтра с шириной перехода. В случае выбора окна Кайзера длинаопределяется по формуле.

4. Расчет импульсной характеристики реального фильтра.

Расчет осуществляется по формуле , где расчетное выражениеберется из таблицы 3.1 с подстановкой величины.

Поскольку импульсная характеристика найдена, то, казалось бы, процедура на этом должна быть завершена. К сожалению, вследствие приближенной оценки параметра , от которого полностью зависит импульсная характеристика, а потому и частотные свойства фильтра, полученный фильтр крайне редко удовлетворяет заданным требованиям, что вызывает необходимость проверить их выполнение.

5. Проверка выполнения заданных требований.

Для проверки выполнения заданных требований рассчитывается АЧХ: если требования задания к АЧХ выполняются, то на этом процедуру конструирования передаточной функции можно завершить; если требования не удовлетворяются, то необходимо увеличить порядок и повторить п.п.2–5.

Может случиться так, что требования выполняются с большим запасом, тогда следует проверить, нельзя ли уменьшить . Иначе говоря, за некоторое количество итераций (проб) обязательно найдется наименьшее значение, при котором требования выполняются.

Может случиться и так, что при выбранном окне длина фильтра оказывается слишком большой, а фильтр такой длины по каким-либо соображениям (большие собственные шумы, обеспечение работы в реальном масштабе времени, элементная база и т.п.) не может быть реализован. Тогда выбирается другое окно и процедура повторяется.

3.2.4 ПЛЮСЫ И МИНУСЫ МЕТОДА ОКОН

Важным достоинством метода взвешивания является простота: его просто применять и легко понять. Этот метод включает минимальный объем вычислений даже при использовании сложной функции Кайзера.

Главный недостаток метода – отсутствие гибкости. Максимальная неравномерность в ПП и ПЗ примерно равны, так что разработчик может получить фильтр либо со слишком маленькой неравномерностью ослабления в ПП, либо со слишком большим затуханием в ПЗ.

Вследствие того, что в методе фигурирует свертка спектра вырезающей функции и желаемой характеристики АЧХ, невозможно точно задать граничные частоты ПП и ПЗ.

Для функции окон (исключая функцию Кайзера) максимальная амплитуда колебаний в частотной характеристике фиксирована и не зависит от того, насколько большим делать (от величинызависит только ширина полосы перехода). Следовательно, затухание в полосе подавления фиксировано для данной функции. Таким образом, для данной спецификации затухания разработчик должен выбрать подходящую функцию.

В некоторых случаях выражения формулы желаемой АЧХ будут настолько сложными, что из уравнения (3.2) аналитически находитьнет смысла. В таких случаяхможно получить с помощью метода частотной выборки, а уже затем применять весовую функцию.