3. Методы проектирования цф

Системы, которые описываются полным разностным уравнением (3.1), принято называть рекурсивными цифровыми системами (РЦС) или рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих значений выходного сигнала участвует не только входной сигнал, но и значения выходного сигнала, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные системы называют также системами с обратной связью.

Рис. 3.1 – уравнение РЦФ

КИХ-фильтры реализуются на основе свертки двух функций. Первая функция является входным сигналом x(n), а вторая a называется ядром фильтра и определяет его импульсную характеристику. Проектирование РЦФ сводится к синтезу его системной функции H(z), при которой АЧХ H(ω) фильтра удовлетворяет данным требованиям.

Если бы не погрешность представления чисел в ЭВМ, такой фильтр имел бы бесконечное количество затухающих по амплитуде выходных отсчетов при одном единственном входном отсчете, т.е. фильтр имел бы бесконечную импульсную характеристику (БИХ-фильтр). На практике размер импульсной характеристики определяется точностью представления чисел.

Применив Z-преобразование к выражению алгоритма работы РЦФ и решив его относительно Y(Z) , найдем передаточную функцию рекурсивного ЦФ:

Рассмотрим некоторые наиболее часто используемые структурные схемы рекурсивных ЦФ.

Прямая форма реализуется непосредственно по его разностному уравнению или по передаточной функции. Она содержит один сумматор, умножители и N+M-2 элемента задержи (для создания цепей, соответствующих числителю и знаменателю передаточной функции H(Z) используются отдельные элементы задержки). Порядок фильтра определяется высшим порядком полиномов числителя или знаменателя. Пример данной схемы показан на рисунке 3.2.

Недостаток такого способа реализации – сравнительно большое число ячеек памяти, применяемой для рекурсивной и нерекурсивной частей. Уменьшить число этих ячеек позволяет каноническая (в смысле оптимального решения) схема, в которой каждый элемент задержки используется для цепей как нерекурсивной, так и рекурсивной частей схемы.

Прямая каноническая форма. Канонической называют структурную схему фильтра, содержащую минимальное число элементов задержки. Их число L=max(M-1;N-1). Данная схема показана на рисунке 3.3.

Каскадная (последовательная) форма реализации рекурсивных фильтров является одной из наиболее часто применяемых схем реализации ЦФ высоких порядков и соответствует представлению передаточной функции H(Z) в виде произведения

Параллельная форма реализации соответствует представлению передаточной функции РЦФ в виде суммы

Основное достоинство рекурсивных фильтров – существенное сокращение числа элементов по сравнению с их числом в нерекурсивных фильтрах, выполняющих те же операции. Это позволяет реализовать цифровые фильтры с импульсными характеристиками, имеющими теоретически бесконечное число отсчетов. Поэтому в радиотехнике рекурсивные ЦФ получили название фильтров с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ-фильтров). Кроме того, РФ по своим частотным свойствам гораздо ближе к аналоговому прототипу.

К недостаткам РЦФ следует отнести более высокие собственные шумы по сравнению с НЦФ. Кроме того, не всегда обеспечивается устойчивость фильтра (т.е. реакция фильтра на любое ограниченное воздействие не всегда ограничена) .

Рисунок 3.2 – Структурная схема прямой формы реализации РЦФ (ББ)

Рисунок 3.3 – Структурная схема канонической формы реализации РЦФ