Основные понятия теории нечетких множеств |
17 |
Говорят, что T-норма и S-норма дуальны (образуют дуальную пару), если выполнено условие
x, y [0, 1] 1−T (x, y) = S(1− x, 1− y) , |
(3.8) |
или, что эквивалентно, |
|
x, y [0, 1] 1−S(x, y) =T (1− x, 1− y) . |
(3.9) |
Очевидно, что дуальными являются нормы TM и SM, TP и SP, TL и SL. Переходя на язык операций теории множеств, свойство дуальности норм можно записать в виде:
A ∩ B |
= |
A |
|
B |
, |
A B |
= |
A |
∩ |
B |
, |
(3.10) |
откуда можно сделать вывод, что для операций пересечения и объединения нечетких множеств, определенных с помощью взаимно дуальных T- и S-норм, справедливы свойства, соответствующие известным из классической логики законам де Моргана.
Нормы TP и SP называют вероятностными, а TL и SL – нормами Лукасевича.
Используя свойство ассоциативности, T- и S-нормы могут быть определены для числа аргументов n ≥ 2:
|
T2 |
(x1 |
, x2 ) =T (x1 |
, x2 ), |
(3.11) |
|
Tn (x1 |
, x2 , ..., xn ) =T(Tn−1 (x1, x2 , ..., xn−1 ), xn ), n =3,4, ... |
|
|
Соответственно, можно определить операции пересечения и объединения для произвольного числа нечетких множеств на общей области определения.
3.3. Декартово произведение
Как и пересечение, декартово произведение нечетких множеств определяется с использованием T-нормы.
Пусть A1 – нечеткое множество на X1, A2 – нечеткое множество на X2, тогда их декартово произведение A1×A2 определяется как нечеткое множество на множестве X1×X2 с функцией принадлежности
μA ×A |
(x1 |
, x2 ) =T ( μA |
(x1 ), μA (x2 )), x1 X1, x2 X |
2 . |
(3.12) |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
3.4. Возведение в степень
Результатом возведения в степень α (α ≥ 0) нечеткого множества A на множестве X является нечеткое множество на той же области определения, обозначаемое Aα и имеющее функцию принадлежности
μ α (x) =[μ |
A |
(x)]α , x X . |
(3.13) |
A |
|
|
