Основные понятия теории нечетких множеств |
6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.5. Пример нечеткого разбиения, X = [ x1, x2 ]
Определение 1.14. Нечеткое разбиение называется ортогональным или разбиением единицы, если выполняется условие:
n
x X ∑μAj (x) =1. (1.18)
j=1
Классический пример ортогонального нечеткого разбиения показан на рис. 1.6.
= 0,5 |
|
|
|
0 |
x1 |
x2 |
x |
|
|||
Рис. 1.6. Пример ортогонального нечеткого разбиения |
|||
2. Типовые модели функций принадлежности непрерывных нечетких множеств
Существуют два основных пути задания функций принадлежности непрерывных нечетких множеств:
1)дискретизация области определения с помощью некоторого набора опорных точек (узлов), задание для них степеней при-
надлежности, с последующей аппроксимацией по этим точ-
кам искомой функции принадлежности;
2)использование некоторой заранее заданной модели функции
принадлежности, с последующей настройкой ее параметров (ручной или автоматической).
Рассмотрим несколько типовых моделей непрерывных функций принадлежности.
Основные понятия теории нечетких множеств |
7 |
2.1. Линейная функция принадлежности
Общий вид линейной функции принадлежности задается уравнением:
где |
|
|
|
|
|
|
μ(x) = min{μ1 (x), μ2 (x)}, |
|
|
|
|||
0, x < a; |
|
|
1, x < c; |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
−a |
|
|
|
|
− x |
|
|||||
|
x |
|
|
|
d |
|
|||||||
μ1 |
(x) = |
|
|
|
|
, a |
≤ x ≤ b; |
|
μ2 (x) = |
|
|
|
, c ≤ x ≤ d; |
|
−a |
|
−c |
||||||||||
|
b |
|
|
|
d |
|
|||||||
|
1, x > b |
|
|
0, x > d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция μ1(x) называется левой ветвью, а μ2(x) – правой ветвью |
|||||||||||||
линейной функции принадлежности (рис. 2.1). |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
μ 1(x) |
|
μ 2(x) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
μ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
a |
b |
c |
d |
x |
|
|
Рис. 2.1. Общий вид линейной функции принадлежности
Таким образом, линейная функция принадлежности определяется четырьмя параметрами: (a, b, c, d). Ограничения, накладываемые на значения параметров, имеют вид: a < b, c < d. Соотношения значений параметров определяют вид графика функции принадлежности. Так, при b < c мы получаем трапециевидную функцию принадлежно-
сти, при b = c – треугольную, при b > c (но a < d) – треугольную субнормальную (рис. 2.2).
Линейная функция принадлежности может быть задана путем непосредственного задания параметров a, b, c, d (в частности, для нормального нечеткого множества параметры a, d определяют границы носителя; b, c – границы ядра), либо, в общем случае, путем идентификации двух любых точек, характеризующих каждую ветвь.
Также используются линейные функции принадлежности, состоящие только из одной ветви – левой или правой (рис. 2.3).
Основные понятия теории нечетких множеств |
8 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
a |
b=c |
d |
a |
c |
b |
d |
Рис. 2.2. Линейная функция принадлежности при различных соотношениях параметров
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
a |
b |
c |
d |
Рис. 2.3. Линейные функции принадлежности, состоящие из одной ветви
2.2. Квадратичная функция принадлежности (π-функция)
Общий вид квадратичной функции принадлежности (рис. 2.4) задается уравнением:
μ(x) = min{μ1 (x), μ2 (x)},
где
|
0, x < a; |
|
|
|
|
||||
|
|
2(x −a)2 |
|
a +b |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, a ≤ x < |
|
|
; |
|||
μ1 |
(b −a)2 |
|
2 |
||||||
(x) = |
|
2(b − x)2 |
a +b |
|
– левая ветвь (S-функция), |
||||
|
|
|
≤ x ≤ b; |
||||||
|
1− |
|
, |
|
|
||||
|
(b −a)2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > b
Основные понятия теории нечетких множеств |
9 |
|
1, x < c; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2(x −c)2 |
|
|
c + d |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1− |
|
|
, c ≤ x < |
|
|
; |
|||
μ2 |
(d −c)2 |
2 |
||||||||
(x) = |
2(d − x)2 |
c + d |
|
|
|
– правая ветвь (Z-функция). |
||||
|
|
≤ x |
≤ d; |
|
||||||
|
|
|
, |
|
|
|||||
|
(d −c)2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x > d
1
μ 1(x) |
μ 2(x) |
μ(x)
0 a |
|
|
x |
b |
c |
d |
Рис. 2.4. Общий вид квадратичной функции принадлежности
Как и линейная, данная функция определяется четырьмя параметрами, с теми же ограничениями на их значения. Способ задания квадратичной функции такой же, как и линейной (идентификация любых двух точек, характеризующих каждую ветвь, например, границ носителя и ядра).
Можно также использовать квадратичные функции принадлежности, состоящие только из одной ветви (по аналогии с линейными).
2.3. Экспоненциальная (гауссова) функция принадлежности
Общий вид экспоненциальной функции принадлежности:
μ(x) = exp −(x −a)2 .
2b2
График функции (рис. 2.5) по своей форме совпадает с графиком плотности нормального вероятностного распределения (называемого также гауссовым – отсюда второе название данной функции).
Основные понятия теории нечетких множеств |
10 |
|||
1 |
|
|
|
|
μ(x) |
|
|
|
|
0 |
a–b |
a |
a+b |
x |
|
|
|||
Рис. 2.5. Общий вид экспоненциальной функции принадлежности |
||||
Экспоненциальная функция принадлежности характеризуется двумя параметрами: a и b (b > 0), при этом в точке c (и только в ней) функция принимает значение 1, а точки x = a ± b являются точками перегиба функции.
Экспоненциальная функция принадлежности имеет, строго говоря, неограниченный носитель – нулевое значение, как слева, так и справа, достигается лишь на бесконечности (имеет место асимптотическое стремление к нулю при x → ∞). Однако, практически, носитель данной можно считать ограниченным, поскольку при x = a ± 3b значение функции уже является пренебрежимо малым.
Наиболее часто используемый способ задания экспоненциальной функции состоит в идентификации точки c (модального значения) и расстояния d от данной точки до точек перехода функции:
d = | a – x0,5 |, где μ(x0,5) = 0,5. На основе значения d вычисляется значение b по формуле:
b = |
d |
. |
|
||
|
2ln 2 |
|
Рассмотренная функция принадлежности симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через точку a. Также можно использовать несимметричную экспоненциальную функцию (рис. 2.6):
μ1 (x), x < a1; μ(x) = 1, a1 ≤ x ≤ a2 ;μ2 (x), x > a2 ,