3)любой другой точки на графике функции, отличной от c и x0,5, например, приближенной границы носителя (x0,01) или ядра (x0,99) – по результатам вычисляется значение параметра b.

3.Операции над нечеткими множествами

Выделяют две группы операций над нечеткими множествами:

1)теоретико-множественные операции, которые представляют собой обобщение операций классической теории множеств на случай нечетких множеств;

2)операции, существенно учитывающие нечеткость множе-

ства, не имеющие смысла для обычных множеств.

В общем случае теоретико-множественные операции над нечеткими множествами определяются так, чтобы, будучи примененными к четким множествам, они совпадали с обычными, классическими теоретико-множественными операциями.

Из операций первой группы рассмотрим операции дополнения,

пересечения, объединения и декартова произведения, из операций второй группы – операцию возведения в степень.

3.1. Дополнение

Пусть A – нечеткое множество на множестве X с функцией принадлежности μA. Дополнением A называется нечеткое множество A с функцией принадлежности

Операция дополнения обычно используется для представления логического модификатора «НЕ».

Пример выполнения операции нечеткого дополнения приведен на рис. 3.1, из которого видно, что существуют элементы области определения, принадлежащие как самому множеству, так и его дополнению, при этом данные элементы не принадлежат ни одному из этих множеств полностью, со степенью принадлежности, равной 1. Иными словами, в нечеткой логике не действуют хорошо известные из классической логики принцип непротиворечивости и закон исключенного третьего, что как раз и обусловлено нечеткостью границ между понятием и его отрицанием.

Рис. 3.1. Пример выполнения операции нечеткого дополнения

3.2. Пересечение и объединение

Рассмотрим один из наиболее распространенных подходов к определению операций пересечения и объединения нечетких множеств, называемый иногда минимаксным подходом.

Пусть A и B – нечеткие множества на множестве X с функциями принадлежности μA и μB соответственно. Тогда пересечение A∩B и объединение A B этих множеств являются нечетким множествами на X с функциями принадлежности соответственно:

с использованием минимаксного подхода показаны на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Примеры выполнения операций пересечения и объединения нечетких множеств с использованием минимаксного подхода

Операция пересечения обычно используется для представления логической связки «И», а операция объединения – для представления связки «ИЛИ».

Легко видеть, что если в качестве операндов A и B взять обычные, четкие множества, то определенные таким образом операции пересечения и объединения сводятся к своим классическим теорети- ко-множественным аналогам. Кроме того, для данных операций справедливы следующие свойства:

A (B ∩C) = (A B) ∩(A C).

Рассмотренный подход к определению операций нечеткого пересечения и объединения не является единственно возможным. Достаточно часто используется иной подход, в соответствии с которым:

Данный подход иногда называют вероятностным, поскольку соответствующие выражения по своей форме совпадают с выражениями для определения вероятностей пересечения и объединения случайных событий. Примеры выполнения операций пересечения и объединения с использованием вероятностного подхода показаны на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Примеры выполнения операций пересечения и объединения нечетких множеств с использованием вероятностного подхода

Для операций пересечения и объединения, определенных с использованием вероятностного подхода, остаются справедливыми свойства коммутативности и ассоциативности, а также граничные ус-

ловия. Свойства идемпотентности и дистрибутивности не выполня-

ются, но справедливы их менее жесткие аналоги:

A ∩ A A, A A A;

A ∩(B C) (A ∩B) (A ∩C),

A (B ∩C) (A B) ∩(A C).

Введенные подходы к определению операций нечеткого пересечения и объединения можно рассматривать как частные случаи обобщенного подхода, основанного на использовании треугольных норм и конорм.

Пусть на области [0, 1]×[0, 1] (т.е. на единичном квадрате) задана функция двух переменных T(x, y), принимающая значения на отрезке [0, 1] и удовлетворяющая следующим условиям (для всех возможных значений x и y):

1)коммутативность: T(x, y) = T(y, x);

2)монотонность: x1 ≤ x2, y1 ≤ y2 T(x1, y1) ≤ T(x2, y2);

3)ассоциативность: T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z));

4)граничное условие: T(x, 1) = T(1, x) = x.

Аналогично, пусть на этой же области задана функция S(x, y), принимающая значения на отрезке [0, 1] и для всех возможных значений x и y удовлетворяющая следующим условиям:

1)коммутативность: S(x, y) = S(y, x);

2)монотонность: x1 ≤ x2, y1 ≤ y2 S(x1, y1) ≤ S(x2, y2);

3)ассоциативность: S(S(x, y), z) = S(x, S(y, z));

4)граничное условие: S(x, 0) = S(0, x) = x.

Тогда функция T(x, y) называется треугольной нормой или

T-нормой, а S(x, y) – треугольной конормой или S-нормой.

Примерами T-норм и S-норм являются:

Используя T- и S-нормы, можно ввести следующее обобщенное определение операций пересечения и объединения нечетких множеств:

где T – некоторая T-норма, S – некоторая S-норма.