Рачетно-графическая работа №1

11

После задания всех нечетких переменных возникает задача определения суммы всего бюджета, которая также будет нечеткой величиной. Для этого требуется выполнить арифметические операции над нечеткими переменными.

Определение этих операций рассмотрим на примере двух нечетких переменных A1, A2, которые заданы своими трапециевидными функциями принадлежности: A1(x) = <m1, n1, l1, k1>, A2(x) = = <m2, n2, l2, k2>. Результатом операций будет нечеткая переменная A , параметры функции принадлежности которой определяются в соответствии с табл. 1.

Таблица 1 Основные арифметические операции над нечеткими переменными

с трапециевидной функцией принадлежности

На основе приведенных описаний арифметических операций можно для рассматриваемого примера определить оценку бюджета с учетом долгов T как сумму трех источников финансирования минус предполагаемые платы по кредиту. Причем результат будет также нечеткой переменной T = А + В + С - D = (50+100+0 - 80, 70+110+0 - 80, 10+0+0 + 20, 30+0+20 + 30) = (70, 100, 30, 80). Ее функция при-

надлежности приведена на рис.7.

Таким образом, в бюджете может быть сумма от 40 до 180 млн, но с наибольшей степенью истинности можно говорить о суммах от

70 до 100млн.

Наряду с нечеткой переменной существует понятие лингвисти-

ческой переменной.

Лингвистическая переменная – переменная, которая может принимать значения понятий или фраз из естественного языка. Часто с помощью лингвистической переменной описывают информацию об объекте принятия решений, представленную в словесной форме экспертами.

Например, лингвистическая переменная «скорость» может принимать значения «малая», «средняя», «большая». Каждое такое значение является отдельной нечеткой переменной и представляется соответствующими нечеткими множествами.

Математическая лингвистическая переменная описывается пятеркой параметров <x, T(x), X, G, M>, где

x – имя переменной;

T(x) – множество термов или имен лингвистических значений переменной x. Терм, который состоит из одного слова или из нескольких слов, всегда используемых вместе друг с другом, называется атомарным. В свою очередь терм, который состоит из более чем одного атомарного терма, называется составным.

X – базовое множество, на котором задаются нечеткие множества, связанные с основными лингвистическими значениями переменной x;

14

– нечеткие множества, определенные на соответствующих полных множествах X, Y. Факты x , y представляют лингвистические переменные. Функция принадлежности результирующего нечеткого множества B’ зависит от функции принадлежности A B(x, y) нечеткой импликации A B. Пусть A и B – это нечеткие множества, A X и B Y . Нечеткой импликацией A B называется нечеткое отношение R, определенное на X Y и удовлетворяющее следующему правилу (типа minimum)

A B(x, y) R(x, y) A(x) B(y) min[ A(x), B(y)]).

Для нахождения результата нечеткого вывода по правилу Modus Ponens необходимо построить нечеткое множество B’. Оно опреде-

Следующий пример иллюстрирует нечеткий логический вывод по правилу Modus Ponens.

Известно, что уровень внутреннего шума автомобиля зависит от скорости его движения. Предположим, что даны полные множества возможных скоростей X = {60, 70, 80, 90, 100} (км/ч) и полное множество Y = {50, 55, 60, 65, 70,} (дБА – децибел акустический) со значениями уровня шума. Также задано правило R1: «ЕСЛИ скорость автомобиля большая, ТО уровень шума - высокий». С помощью нечеткого логического вывода требуется определить, какой будет уровень шума, если скорость автомобиля около 70 км/ч.

Алгоритм решения этой задачи будет состоять из следующих шагов.

Шаг 1. Введем две лингвистические переменные x – скорость движения, y - уровень шума. Тогда Tx = {«большая», «около 70 км/ч»}, Ty = {«высокий»} - это соответственно множество значений лингвистических переменных x, y. Определим для имеющихся термов нечеткие множества.

A: «большая скорость» = 0/60 + 0,3/70 + 0,7/80 + 1/90 + 1/100;

B: «высокий уровень шума» = 0/50 + 0,3/55 + 0,5/60 + 0,7/65 + 1/70;

15

A’: «скорость около 70 км/ч» = 0,3/60 + 0,7/65 + 1/70 + 0,7/75 + + 0,3/80;

Теперь данная задача формально может быть записана в виде

четкое множество B’.

Шаг 2. Формализуем нечеткое правило R1 как нечеткое отношение A B. Для вычисления функции принадлежности нечеткой импликации будем использовать правило типа minimum.

R(x1,y1) = min(0;0) = 0; R(x1,y2) = min(0;0,3) = 0;

R(x1,y3) = min(0;0,5) = 0; R(x1,y4) = min(0;0,7) = 0;

R(x1,y5) = min(0;1) = 0.

R(x2,y1) = min(0,3;0) = 0; R(x2,y2) = min(0,3;0,3) = 0,3;

R(x2,y3) = min(0,3;0,5) = 0,3; R(x2,y4) = min(0,3;0,7) = 0,3;

R(x2,y5) = min(0,3;1) =0,3.

R(x3,y1) = min(0,7;0) = 0; R(x3,y2) = min(0,7;0,3) = 0,3;

R(x3,y3) = min(0,7;0,5) = 0,5; R(x3,y4) = min(0,7;0,7) = 0,7;

R(x3,y5) = min(0,7;1) =0,7.

R(x4,y1) = min(1;0) = 0; R(x4,y2) = min(1;0,3) = 0,3;

R(x4,y3) = min(1;0,5) = 0,5; R(x4,y4) = min(1;0,7) = 0,7;

R(x4,y5) = min(1;1) =1.

R(x5,y1) = min(1;0) = 0; R(x5,y2) = min(1;0,3) = 0,3;

R(x5,y3) = min(1;0,5) = 0,5; R(x5,y4) = min(1;0,7) = 0,7;

R(x5,y5) = min(1;1) =1.

В итоге значения функции принадлежности нечеткого отношения A B будут иметь следующий вид:

18

R(k) :ЕСЛИ(x1 это A1(k) И x2 это A2(k) ... И xn это An(k)),.

ТО yk f (k)(x1,x2,...,xn)

Пусть на вход модуля нечеткого управления подаются значения входных переменных x* (x1*,x2*,...,xn*). Требуется определить значения выходной переменной y* на основе двух следующих правил:

и функциональные зависимости соответственно. Также известны входные переменные с четкими значениями x* (x1*,x2*)T . Требуется определить четкое значение выходной переменной y*, соответствующей значениям этих входных переменных.

Порядок выполнения алгоритма Такаги-Сугено приведен ниже. Шаг 1. Фаззификация входных переменных x1 *, x2 * и определение значений их функций принадлежности соответствующим

нечетким множествам: A1(1) (x1*), A1(2) (x1*), A2(1) (x2*), A2(2) (x2*).

Шаг 2. Определение уровней отсечения функций принадлежности фактов каждого из правил с использованием операции minimum

Шаг 4. Определение четкого значения выходной переменной y* как нормализованной взвешенной суммы отдельных выходов y1* , y2* каждого правила

y* 1y1* 2y2 *.

1 2

Пример. С помощью алгоритма Такаги-Сугено для заданных правил

R(1) :ЕСЛИ (x1 этобольшое И x2 этосреднее), ТО y1 2 7x1 3x2;

R(2) :ЕСЛИ(x1 этомалое И x2 этомалое), ТО y2 2x1 5x2 ;

определить значение выходной переменной y*, если x1* = 2, x2* = 3.

19

На рис.10 приведены нечеткие множества, используемые в примере.

Шаг 2. 1 min[ A1(1) (x1*), A2(1) (x2*)] = min[0,3; 0,7] = 0,3;

2 min[ A1(2) (x1*), A2(2) (x2*)] = min[0,75; 0,2] = 0,2.

4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Для выполнения индивидуальных заданий студенту предлагается два нечетких понятия, список которых повариантно приведен в табл. 2

Таблица 2 Нечеткие понятия для выполнения индивидуальных заданий

Над соответствующими варианту нечеткими понятиями X, Y необходимо выполнить ряд действий, последовательность выполнения которых указана далее.

1.Каждое из нечетких понятий представить в виде лингвистической переменной X, Y с тремя нечеткими значениями (XA, XB, XC; YA, YB, YC) соответственно.

2.Каждое нечеткое значение следует описать с помощью нечеткого множества, заданного как в виде дискретного набора значений, так и в форме стандартной трапециевидной функции принадлежности.

3.Над нечеткими множествами, описывающими значения любой выбранной лингвистической переменной, выполнить нечеткие операции: дополнение, пересечение, объединение, алгебраическое