3. Переход от праволинейной грамматики к автоматной

Автоматные грамматики, или иначе А-грамматики, имеют правила вывода вида

U::=T или U::=TW, где TV_T; UV_n; WV_n.

Перейти от полученной праволинейной грамматики к автоматной можно расширением нетерминального словаря следующим образом : Sc₁S₁ ; S₁c₂S₂ ; S₂с₃А и т. д., оставляя в правой части правила один терминальный и один нетерминальный символы или один терминальный.

Для рассматриваемого примера выполним преобразование праволинейной грамматики G'=(V_N, V_T, S, R') в автоматную G"=(V_N", V_T, S, R").

При этом получим следующее множества R правил вывода

Sx3S1;	S1x2S2;	S2x1A;
Sx3S3;	S3x7S4;	S4x4B;
Sx2C;	Sx5F;	Ax1D;
Ax0;	Bx1E;	Bx0;
Cx1E;	Cx0;	Dx6S;
Dx7;	Ex6S;	Ex7;
Fx4F1;	F1x6F2;	F2x0F3;
F3x5;	Fx5F4;	F4x6F5;
F5x0F6;	F6x5;	Fx6F7.
F7x5F8;	F8x5;

Следовательно, словарь нетерминальных символов V_N будет иметь вид

V"_N = {S, S₁ , S₂, S₃, S₄, А, В, С, D, E, F, F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆, F₇, F₈,}.

В рассматриваемом примере нетерминальный словарь имеет 19 символов и его мощность V"_N равна 19, мощность V_T  терминального словаря V_T равна 8.

4. Построение недетерминированного конечного автомата

Недетерминированный конечный автомат — это пятерка

A=(Q, V, М, S, Z), где

Q - множество (алфавит) внутренних состояний;

V - входной алфавит;

М — функция переходов, представляющая отображение

V*Q P(Q);

P(Q) — множество подмножеств из Q;

S Q — множество начальных состояний;

Z  Q — множество заключительных состояний;

SZ.

Недетерминированный конечный автомат (в отличие от детерминированного) может иметь несколько начальных состояний. Отличается он и функциями перехода.

Как правило, недетерминированные конечные автоматы порождаются регулярными грамматиками, которые содержат правила вывода вида

U::= TW R::= TW, что соответствует фрагменту диаграммы

U

T

W

T

R

Частичная функция переходов этого случая имеет вид:

M(W,T)={U,R}.

В рассматриваемом примере недетерминированный конечный автомат имеет одно начальное состояние S. Зададим этот автомат следующим образом. Поставим в соответствие символам нетерминального словаря V"_N состояния из Q , в том числе нетерминалу S — начальное состояние q_o . Добавим заключительное состояние Z, в котором автомат оказывается, если цепочка символов, поступающих на автомат, принадлежит L (G").

Составим табл. 3, в которой нетерминальным символам из множества V"_N соответствуют состояния автомата из множества Q.

Таблица 3

S	S1	S2	S3	S4	A	В	С	D	E
qo	q1	q2	q3	q4	q5	q6	q7	q8	q9
F	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	Z
q10	q11	q12	q13	q14	q15	q16	q17	q18	q19

Здесь начальному состоянию S соответствует q_o, конечному Z - q₁₉.

Общее количество состояний Q = V "_N +1 и равно 20.

Поставим в соответствие правилам вывода переходы автомата.

Так, правилу Аx₁D - переход из состояния q₅ в состояние q₈ под воздействием входного символа x₁, а правилу Ех₇ — переход из состояния q₉ в заключительное состояние q₁₉ при входном символе х₇.

Выполнив указанные действия для всех правил R", получим таблицу переходов (табл. 4) недетерминированного конечного автомата, соответствующего рассматриваемому примеру. Граф переходов, построенный по этой таблице, приведен на рис.1.

Таблица 4

	Хo	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
q0			q7	q1,q3		q10
q1			q2
q2		q5
q3								q4
q4					q6
q5	q19	q8
q6	q19	q9
q7	q19	q9
q8							q0	q19
q9							q0	q19
q10					q11	q14	q17
q11							q12
q12	q13
q13						q19
q14							q15
q15	q16
Окончание табл.4
q16						q19
q17						q18
q18						q19
q19

Рис.1

Анализируя полученный граф переходов, можно убедиться, что автомат допускает те и только те цепочки входных символов, которые принадлежат языку L(G"), порождаемому грамматикой G".

Кроме того, полученный автомат является недетерминированным, так как в табл. 4 есть клетки, содержащие пары состояний, и не полностью определённым, поскольку в таблице есть незаполненные клетки.