Задача э-1

Построить эпюру нормальных сил для бруса.

Варианты схем нагружения бруса, соотношений между нагрузками и длинами участков бруса приведены в табл. 1.1 и 1.2. Линии действия всех внешних нагрузок проходят вдоль оси z бруса.

Таблица 1.1

Параметры	1	2	3	4	5	6
b	2a	2a	a	2a	2a	a
q1	q	2q	q	q	2q	2q
q2	2q	q	2q	q	2q	q
P1	qa	2qa	1,5qa	2qa	1,5qa	qa
P2	2,5qa	qa	2qa	2,5qa	qa	qa

Пример 1.1

Построить эпюру нормальных сил для бруса. Приложенные к нему внешние нагрузки показаны на рис. 1.5а.

а)

б)

Решение

1. Для рассматриваемой схемы нет необходимости определять реакцию опоры. Однако следует помнить, что при использовании метода сечений в этом случае необходимо в уравнение равновесия включать внешние нагрузки, действующие на часть бруса, расположенную справа от сечения. Если в качестве объекта равновесия взять левую часть бруса, необходимо освободить ее от связей и заменить их действие реакциями. Тогда в уравнение равновесия для левой части бруса реакция опоры войдет наряду с внешними нагрузками.

Таблица 1.2

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10

Продолжение табл. 1.2

11	12
13	14
15	16
17	18
19	20

Окончание табл. 1.2

21	22
23	24
25	26
27	28
29	30

2. Разделим брус на участки. Учитывая, что границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные внешние силы либо меняются законы распределенных нагрузок, брус необходимо разделить на четыре участка. На рис. 1.5а они обозначены римскими цифрами. Для каждого участка применим локальную систему отсчета. Ее начало расположим на правом конце участка, а положение произвольного сечения на участке определим координатой z₁, z₂ и т.д.

3. На каждом из участков применим метод сечений и, записав аналитические выражения для нормальных сил, построим эпюру.

Для первого участка

.

Эпюра очерчивается наклонной прямой, которую построим по двум точкам:

;

.

Для второго участка

.

Нормальная сила на втором участке постоянна, на эпюре она представляется прямой, параллельной нулевой линии.

На третьем участке

.

Эта ветвь эпюры представляет собой наклонную прямую. Построим ее по двум значениям:

; .

На четвертом участке нормальная сила постоянна:

.

Ветвь эпюры параллельна нулевой линии. Эпюра нормальных сил приведена на рис. 1.5б.

Задача Э-2

Построить эпюру крутящих моментов для бруса.

Варианты схем нагружения бруса, соотношений между нагрузками и длинами участков бруса приведены в табл. 1.3 и 1.4.

Таблица 1.3

Параметры	1	2	3	4	5	6
b	a	a	2a	2a	a	2a
m1	M/a	M/a	2M/a	M/a	2M/a	2M/a
m2	M/a	2M/a	2M/a	M/a	2M/a	M/a
M1	M	1,5M	3M	2M	1,5M	2M
M2	2,5M	M	M	M	2M	2M

Пример 1.2

Построить эпюру крутящих моментов для бруса, схема нагружения которого представлена на рис. 1.6а. Принять , .

а)

б)

Рис. 1.6

Таблица 1.4

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10

Продолжение табл. 1.4

11	12
13	14
15	16
17	18
19	20

Окончание табл. 1.4

21	22
23	24
25	26
27	28
29	30

Решение

1. Не будем определять реакцию опоры. Тогда при использовании метода сечений на каждом участке бруса необходимо рассматривать внешние нагрузки, действующие не его левую отсеченную часть.

2. Разделим брус на четыре участка. Для каждого участка применим локальную систему отсчета с началом на левом конце участка.

3. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем аналитические выражения для крутящих моментов

.

На первом участке эпюра крутящих моментов − наклонная прямая, которую построим по двум точкам:

; .

.

На втором участке эпюра крутящих моментов также наклонная прямая, проходящая через точки

; .

На третьем и четвертом участках крутящие моменты постоянны и представляются на эпюре прямыми, параллельными нулевой линии:

;

.

Эпюра крутящих моментов для бруса приведена на рис. 1.6б.

Задача Э-3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для однопролетной балки с консолью или без нее.

Расчетные схемы балок и варианты соотношений между нагрузками и размерами приведены в табл. 1.5 и 1.6.

Таблица 1.5

Параметры	1	2	3	4	5	6
b	2a	a	2a	2a	a	a
P	qa	qa	2qa	2qa	2qa	qa
M	qa2	2qa2	qa2	2qa2	2qa2	qa2

Пример 1.3

Построить эпюры внутренних усилий Q и M для однопролетной балки (рис. 1.7а).

Решение

1. Вычислим реакции опор. Для этого освободим балку от связей и заменим их действие реакциями (рис. 1.7б). В связи с тем что сумма проекций внешних сил на ось z равна нулю, реакция Z_A равна нулю.

Рис. 1.7

Таблица 1.6

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10

Продолжение табл. 1.6

11	12
13	14
15	16
17	18
19	2 M 0

Окончание таблицы 1.6

21	22
23	2 M 4
25	26
2 M 7	28
2 M 9	30

Составим уравнения равновесия. Сумма моментов всех сил относительно точки А :

,

откуда .

Сумма моментов относительно точки B :

,

откуда .

В качестве проверочного используем уравнение . Имеем

; ,

значит, реакции найдены верно.

2. Разделим балку на три участка.

3. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем выражения для внутренних усилий.

Для первого участка ()

,

при ,

при ;

.

при ,

при – парабола, так каквходит в это выражение во второй степени.

Для её построения недостаточно двух значений, поэтому найдем экстремальное значение. Для этого приравняем к нулю.

,

тогда

.

Поперечная сила имеет линейную зависимость.

Для второго участка:

;

,

при ,

при .

На втором участке поперечная сила постоянна по величине, поэтому её эпюра представляется в виде прямоугольника, а изгибающий момент меняется по линейному закону.

Для третьего участка:

;

,

при ,

при .

На третьем участке поперечная сила постоянна по величине, поэтому её эпюра представляется в виде прямоугольника, а изгибающий момент меняется по линейному закону.

4. По полученным значениям строим эпюры Q и M (рис. 1.7в).

Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между q, Q и M. На участках II и III, где не приложена распределенная нагрузка, эпюры Q имеют вид прямоугольников, а эпюры М представлены наклонными прямыми. На участке I, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q представлена наклонной прямой, а эпюра М − квадратной параболой, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. На участках, где Q > 0, момент растет слева направо, где Q < 0 – убывает. В сечении, где приложена сосредоточенная сила – внешняя сила Р, на эпюре Q наблюдается скачок на величину этой силы, а на эпюре М – излом, направленный острием навстречу силе.

Задача Э-4

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с шарниром.

Расчетные схемы балок и варианты соотношений между нагрузками, а также длинами участков балки приведены в табл. 1.7 и 1.8.

Таблица 1.7

Параметры	1	2	3	4	5	6
b	2a	2a	a	a	2a	a
P	qa	2qa	2qa	qa	qa	qa
M	qa2	qa2	qa2	qa2	2qa2	2qa2

Пример 1.4

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с шарниром (рис. 1.8a). .