Глава 1. Построение эпюр внутренних усилий

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Внутренние усилия в поперечных сечениях стержней определяются с использованием метода сечений. При этом возникает необходимость в определении реакций опор.

Для определения реакций опор удаляются связи, имеющиеся в опорах, их действие заменяется усилиями, называемыми реакциями. Количество реакций в опоре определяется ее типом. Для пространственной стержневой системы реакции опор вместе с внешними нагрузками образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Для такой системы можно составить шесть уравнений равновесия:

- уравнения проекций реакций опор и внешних нагрузок на оси координат

; (1.1)

- уравнения моментов относительно осей координат

. (1.2)

Плоскость, в которой действует внешняя нагрузка, называется силовой. Если внешняя нагрузка представляет собой сосредоточенную силу, под силовой плоскостью понимают плоскость, содержащую вектор силы и осевую линию стержня.

Если осевые линии стержней системы лежат в одной плоскости и в этой же плоскости приложены внешние нагрузки, система называется плоской. Реакции опор плоской системы вместе с внешней нагрузкой образуют систему сил, произвольно расположенных в плоскости. Полагая, что ось х перпендикулярна плоскости системы, можно записать три уравнения равновесия:

. (1.3)

Возможна и другая система уравнений равновесия. Так, для балки, показанной на рис. 1.1, удобно воспользоваться уравнениями

;

;

.

При определении реакций опор распределенную нагрузку можно заменять ее равнодействующей.

Для проверки правильности определения реакций опор, как правило, используют избыточное уравнение равновесия.

П

Рис. 1.1

рименение метода сечений при определении внутренних усилий в поперечных сечениях стержней предполагает следующие операции [4]. Брус или стержневая система с помощью, как правило, нормального к осевой линии рассекаемого стержня сеченияm (рис. 1.2а) делится на две части. Одна из частей выбирается в качестве объекта равновесия. На рис. 1.2б в качестве объекта равновесия показана часть А бруса. Выбирается система координат с началом в центре тяжести поперечного сечения стержня. Оси x и y располагаются в плоскости поперечного сечения, а ось z проходит вдоль осевой линии стержня или по касательной к ней, если стержень имеет криволинейную осевую линию. В поперечном сечении стержня пространственной системы возникают шесть внутренних усилий: нормальная сила N, поперечные силы Q_x и Q_y, изгибающие моменты M_x, M_y и крутящий момент M_к. По отношению к выбранному объекту равновесия они выступают в роли внешних нагрузок. Реакции связей, наложенные на объект равновесия, внешние нагрузки и внутренние усилия образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Для нее записываются уравнения равновесия (1.1) и (1.2), из которых находятся внутренние усилия.

а)

б)

Удобной для анализа формой представления характера распределения внутренних усилий являются эпюры. Эпюра представляет собой график закона изменения внутреннего усилия по длине стержня.

При записи выражений для внутренних усилий вводятся правила знаков. Нормальная сила считается положительной, если ее вектор направлен вдоль внешней нормали от сечения стержня (рис. 1.3а). Из уравнения равновесия вытекает правило определения величины внутренней силы. Нормальная сила в поперечном сечении стержня равна по величине сумме проекций на осьz всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. При этом в качестве внешних сил рассматриваются и реакции связей, наложенные на выбранную в качестве объекта равновесия часть стержня или стержневой системы. Если внешняя нагрузка вызывает растяжение рассматриваемого участка стержня, в выражение для N она входит со знаком «плюс».

Крутящий момент считается положительным, если он стремится вращать отсеченную часть стержня против хода часовой стрелки при наблюдении со стороны внешней нормали к сечению (рис. 1.3б). Крутящий момент в поперечном сечении стержня равен по величине сумме моментов относительно оси z всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Если внешняя нагрузка стремится вращать отсеченную часть стержня против хода часовой стрелки при наблюдении со стороны внешней нормали к сечению, расположенному в начале участка стержня, в выражение для M_к она входит со знаком «плюс».

Эпюры строят на базовых линиях, параллельных осевым линиям стержней, либо воспроизводящих осевые линии для стержней с криволинейными осями. Эпюры нормальных сил и крутящих моментов строят в произвольных плоскостях, снабжая их знаками.

Стержень, подверженный поперечному изгибу, называется балкой. Для балки строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Поперечную силу считают положительной, если она стремится вращать отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 1.4а). При этом подразумевается, что центр тяжести сечения, расположенного в начале участка стержня, неподвижен. Поперечная сила в сечении балки равна по величине сумме проекций на ось у всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Если внешняя нагрузка стремится вращать отсеченную часть стержня по ходу часовой стрелки, в выражение для Q она входит со знаком «плюс».

Изгибающий момент в сечении балки считается положительным, если он вызывает сжатие верхних волокон (рис. 1.4а). При этом сечение, расположенное в начале участка, считают условно защемленным. Изгибающий момент в поперечном сечении балки равен по величине сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Если внешняя нагрузка изгибает участок балки так, что вызывает сжатие верхних волокон при условно защемленном сечении, для которого определяется изгибающий момент, в выражение дляМ она входит со знаком «плюс».

Эпюры изгибающих моментов строят на сжатых волокнах и не снабжают знаками.

Для пространственных систем один из вариантов выбора правила знаков изгибающих моментов показан на рис. 1.4б. В качестве положительных приняты моменты, вызывающие сжатие верхнего, расположенного справа либо ближнего к наблюдателю волокна стержня.

Эпюры внутренних усилий строятся в следующем порядке [7]:

- определяются реакции опор, если это необходимо;

- стержневая система или стержень делится на участки по силовому и геометрическому признакам (границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные внешние нагрузки либо меняются законы распределенных нагрузок, а также узловые точки стержневой системы);

- на каждом участке применяется метод сечений (стержень рассекается по произвольному сечению, положение которого чаще всего определяется координатой z_i в локальной системе отсчета, начало которой выбирается в начале участка; записываются выражения для внутренних усилий);

- по полученным выражениям для внутренних усилий строятся эпюры (если закон изменения внутреннего усилия линейный, эпюра строится по двум значениям, найденным для начала и конца участка; если закон изменения нелинейный, кроме этих двух значений находится экстремальное).