- •Российская академия народного хозяйства
- •1. Организационно-методический раздел
- •2. Место дисциплины в структуре ооп впо
- •Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины
- •4. Структура и содержание дисциплины
- •Трудоемкость дисциплины и виды учебной работы
- •Учебно-тематический план дисциплины
- •Содержание разделов дисциплины
- •Тема 1. Системы линейных уравнений. Теория определителей. Алгебра матриц.
- •Тема 2. Арифметические пространства
- •Тема 3. Комплексные числа. Алгебраические многочлены
- •Тема 4. Введение в математический анализ. Предел и непрерывность функции
- •Контрольные вопросы по теме 4:
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.
- •Контрольные вопросы по теме 5:
- •Тема 6. Интегральное исчисление
- •Основные термины: первообразная, неопределённый интеграл, определённый интеграл, формула Ньютона–Лейбница, несобственный интеграл. Контрольные вопросы по теме 6:
- •Тема 7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей
- •5. Планы практических занятий
- •Контрольные вопросы и задачи
- •3. Вычислите матрицу , где
- •Литература
- •Практическое занятие 2 по теме «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. План:
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература Основная:
- •Дополнительная:
- •6. Самостоятельная работа Темы, формы контроля и объём часов на самостоятельную работу
- •7. Вопросы для подготовки к экзамену
- •8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Рекомендуемая литература
- •Интернет-ресурсы
- •10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
- •Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов
- •Контрольная работа №1
- •3. Вычислите матрицу , где
Тема 4. Введение в математический анализ. Предел и непрерывность функции
Понятие множества. Операции над множествами. Функциональная зависимость. Определение функции. Способы задания функций. Классификация функций: чётные и нечётные, периодические и непериодические. Монотонность функций. Обратная функция. Ограниченные функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Графики основных элементарных функций (линейной, модуля, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических функций). Сложная функция. Функции полезности, спроса и предложения.
Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел числовой последовательности. Арифметические операции над пределами. Монотонные последовательности. Число . Задача о непрерывном начислении процентов. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Понятие окрестности точки. Предел функции в точке. Два замечательных предела. Непрерывность функции в точке. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность функции на множестве. Непрерывность некоторых элементарных функций. Глобальные свойства непрерывных функций: теорема об ограниченности функции, заданной и непрерывной на отрезке и теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих наибольшего и наименьшего значений.
Основные термины: Множество, функция, обратная функция, график функции, сложные функции. Числовая последовательность, число е, предел последовательности, предел функции, непрерывность функции.
Контрольные вопросы по теме 4:
1. Сформулировать определение подмножества множества.
2. Определить операции над множествами.
3. Построить графики основных элементарных функций.
4. Привести примеры функций в экономике.
5. Найти , если.
6. Найти область определения функций:
а) ; б).
7. Найти область значений функций:
а) ; б); в).
8. Найти , если.
9. Выяснить чётность (нечётность) функций:
а) ; б); в); г).
10. Найти наименьший период функций:
а) ; б).
11. Следующие функции исследовать на монотонность и для строго монотонных функций определить обратные функции:
а) ; б);
в); г).
12. Найти пределы последовательностей: а) ; б).
13. Что такое число е? Дайте определение.
14. Нарисуйте схематично графики функций и.
15. Сформулируйте теорему о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
16. Вычислить пределы:
а) ; б).
17. Запишите два замечательных предела.
18. Используя первый замечательный предел, вычислить пределы следующих функций:
а) ; б) ;в) ; г).
19. Сформулируйте утверждения о пределе суммы, разности, произведения и частного функций.
20. Доказать, что функция непрерывна на всей числовой прямой.
21. Выяснить, для каких непрерывны функции: а); б); в).
22. Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 6 млн. рублей. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процентов: а) ежегодном; б) ежеквартальном; в) непрерывном.
Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Производная и дифференциал. Геометрический, физический, экономический смысл производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производная основных элементарных функций. Производные высших порядков. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения (теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, правило Лопиталя). Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке. Выпуклость функции и точки перегиба. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Точечные множества в n-мерном пространстве. Понятие функции нескольких переменных. Примеры таких функций (линейная, квадратичная; в экономике – функция полезности, производственная функция). Область определения, линии уровня функций нескольких переменных. Функции полезности и кривые безразличия. Производственная функция. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Частные производные. Дифференциалы функций нескольких переменных. Производная по направлению, градиент. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функций многих переменных. Условный экстремум: метод подстановки и метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.
Основные термины: производная, дифференциал, производные высшего порядка, экстремум, линии уровня, частные производные, производная по направлению, условный экстремум.