Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

nummethod_book_chapter3-12

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
15.05.2015
Размер:
485.56 Кб
Скачать

www.uchites.ru

3. Теория приближения функций

3.1.Постановка задач приближения функций

Втеории приближений изучаются методы приближения функций более простыми, хорошо изученными функциями, методы численного дифференцирования и численного интегрирования. При этом исследуемая приближаемая функция может быть задана как в аналитическом, так и дискретном виде (в виде экспериментальной таблицы).

Пусть дана некоторая функция f (x) на отрезке x [a,b], которая является довольно сложной для исследования. Требуется заменить эту функцию некоторой простой, но хорошо исследуемой функцией (например, многочленом). Для этого с помощью f (x)

xi

x0

x1

...

xn

 

 

 

 

 

 

(3.1)

yi

y0

y1

...

yn

 

 

 

 

 

 

 

строят таблицу (ее называют сеточной функцией), которую можно заменить (сгладить) простой функцией с контролируемой погрешностью.

Рассмотрим два подхода к такой замене:

1. Пусть приближенная функция является многочленом n -й степени,

 

 

(x)= a

 

+ a x +... + a

 

xn ,

(3.2)

f

0

n

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

где n +1 - число узлов в таблице (3.1), с неизвестными параметрами ai ,

i =

 

, так

0, n

приближает сеточную функцию f (x), что

 

 

 

yi =

 

(xi ), i =

 

.

 

 

 

 

(3.3)

f

0, n

 

 

 

 

В этом

 

 

(x) интерполирует

сеточную

случае говорят, что функция f

функцию (3.1), а сама задача приближения называется задачей интерполяции.

Точки

xi , i =

0, n

называют узлами интерполяции,

а условие (3.3)

условием

 

 

 

 

 

 

(x)

не только в

интерполяции. Появляется возможность вычислить значения f

 

 

 

 

 

 

ξ (xi1 , xi ), i =

 

, причем

узлах

интерполяции, но и между ними в точках

1, n

 

 

(ξ)f (ξ).

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

При большом количестве точек xi , i =

 

интерполяция требует большой

2.

0, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

www.uchites.ru

гладкости (по n-й производной), что практически выполнить невозможно. Поэтому сглаживание сеточной функции (3.1) осуществляют путем минимизации некоторого функционала, построенного с помощью (3.1) и многочлена (3.2) степени m , например, квадратичного функционала:

S(a0 , a1 ,..., am )= n [yi

 

(xi )]2 , m << n .

(3.4)

f

i=0

 

Процедуру сглаживания в этом случае называют аппроксимацией заданной функции функцией (3.2), в частности, аппроксимацию с использованием функционала (3.4) называют аппроксимацией с помощью точечного метода наименьших квадратов.

Если коэффициенты сглаживающей функции (3.2) определяются путем минимизации функционала

S(a0 , a1 ,..., am )= b [f (x)

 

(x)]2 dx ,

 

f

(3.5)

a

 

сглаживание называют интегральным методом наименьших квадратов.

Если в качестве сглаживаемой функции задана экспериментальная таблица (3.1), то в методах сглаживания практически ничего не изменяется. Изменяются методы оценки погрешности сглаживания.

2

www.uchites.ru

3.2. Задача интерполяции

Пусть на отрезке x [a,b] задана функция f (x) , с помощью которой построена сеточная функция (3.1) или задана экспериментальная таблица (3.1).

При сглаживании функции (или экспериментальной таблицы) с помощью интерполяции в соответствии с условием интерполяции (3.3) значение интерполирующей функции и значение заданной функции в узлах сетки должны быть одинаковыми, следовательно, погрешность интерполяции в узлах xi , i = 0, n

равна нулю (рис. 3.1).

y

f(x)

f(x)

y0 y1

y2 ......................

yn

x0 x1 x2 ....................... xn x

Рис. 3.1. К задаче интерполяции

Задача интерполяции имеет не единственное решение, но в случае, когда интерполирующей функцией является многочлен n-й степени (n+1 - число узлов интерполяции) вида (3.2) интерполяция имеет единственное решение, т.е. коэффициенты a0 ,Κ , an определяются единственным образом.

Действительно, используя таблицу (3.1), составим СЛАУ относительно

неизвестных коэффициентов a0 ,Κ , an :

 

i = 0

a0

+ a1 x0

+... + an x0n = y0

 

 

i =1

 

 

+ a x

 

+... + a xn = y

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Λ

 

0

1 1

n

1

1

 

(3.6)

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ

 

i = n

a

0

+ a x

n

+... + a

xn = y

n

.

 

 

 

1

n

n

 

 

 

3

www.uchites.ru

Неоднородная СЛАУ (3.6) имеет единственное решение для коэффициентов a0 ,..., an , т.к. определитель матрицы этой СЛАУ не равен нулю:

 

x0

.

n

 

1

x0

 

 

1

x

.

xn

0 ,

det

1

 

1

 

. .

.

.

 

 

 

xn

.

n

 

1

xn

 

поскольку все значения узлов интерполяции различны между собой и ни одна из строк не является линейной комбинацией других строк. Таким образом, задача полиномиальной интерполяции имеет единственное решение, т.к.

коэффициенты a0 ,..., an могут быть выбраны единственным образом.

3 . 2 . 1 . Интерполяционный полином Лагранжа

Для полиномиальной интерполяции можно не решать СЛАУ (3.6), а составить многочлен (3.2) следующим образом :

запишем систему полиномов n-й степени

l0

 

 

(x

x1 )(x

x2 )...(x

xn )

 

 

1,

 

x = x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0 x1 )(x0 x2 )...(x0 xn )

 

x = xi ,

i =1, n

 

 

 

 

0,

 

l

=

 

(x x0 )(x x2 )...(x xn )

 

=

1,

x = x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(x1 x0 )(x1

x2 )...(x1 xn )

 

 

 

x = xi , i = 0, 2, n

 

 

 

 

0,

…………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

ln =

 

(x

x0 )(x

x1 )...(x

xn1 )

 

 

1,

x = x

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xn x0 )(xn x1 )...(xn xn1 )

 

x = xi ,

i = 0, n 1.

 

 

 

0,

Составим линейную комбинацию этих полиномов (их количество равно n+1) с коэффициентами линейной комбинации, равными значениям yi сеточной функции (3.1), получим многочлен n -й степени:

n

 

 

(x x0 )(x x1 )...(x xi1 )(x xi+1 )...(x xn )

 

 

 

 

Ln (x)= yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(3.7)

(x

i

x

0

)(x

i

x

)...(x

i

x

i1

)(x

i

x

i+1

)...(x

i

x

n

)

i=0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полином (3.7) называют интерполяционным полиномом

Лагранжа n-й

степени, т.к. он, во-первых, удовлетворяет условию интерполяции

 

Ln (xi )= yi

, i =

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, во-вторых, имеет n-ю степень.

Интерполяционный многочлен Лагранжа обладает тем недостатком, что в

4

www.uchites.ru

случае, когда добавляются новые узлы интерполяции в таблице (3.1), все слагаемые в (3.7) необходимо пересчитывать.

Выпишем наиболее употребляемые полиномы L1 (x) и L2 (x) : 1) Для таблицы с двумя узлами интерполяции xi , xi+1

xi

xi+1

L

(x) = y

 

x xi+1

+ y

 

x xi

;

 

 

 

 

 

1

 

i xi xi+1

i+1 xi+1 xi

yi

yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Для таблицы с тремя узлами интерполяции xi1 , xi , xi+1

xi1

xi

xi+1

yi1

yi

yi+1

L

 

(x) = y

 

(x xi )(x xi+1 )

+ y

 

2

i1 (xi1 xi )(xi1 xi+1 )

i

 

 

 

(x x )(x x )

+ yi+1 (x xi1 )(x i x ) .

i+1 i1 i+1 i

(x xi1 )(x xi+1 )

+

(xi xi1 )(xi xi+1 )

 

3 . 2 . 2 . Интерполяционный полином Ньютона

При построении интерполяционного полинома в форме Ньютона используется понятие разделенной разности, представляющее собой аналог понятия производной применительно к сеточным функциям.

Разделенной разностью сеточной функции (3.1) нулевого порядка в узлах

xi , i = 0, n называются значения этой функции в этих узлах

f ( x i ) = y i , i = 0 , n .

Определение 1. Разделенной разностью функции (3.1) первого порядка в

узлах xi ,i = 0, n 1 называют отношение

f (xi , xi+1 ) =

f (xi+1 ) f (xi )

=

yi+1 yi

, i =

 

 

0, n 1

 

 

 

xi+1 xi

xi+1 xi

Определение 2. Разделенной разностью функции (3.1) второго порядка в

узлах xi , i = 0, n 2 называют отношение

5

www.uchites.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (xi+2 ) f (xi+1 )

f (xi+1 ) f (xi )

 

f

(xi , xi+1 , xi+2 ) =

f (xi+1 , xi+2 ) f (xi , xi+1 )

=

xi+2 xi+1

xi+1 xi

=

 

 

 

 

 

xi+2 xi

 

 

 

 

 

 

 

xi+2 xi

 

 

yi+2

yi+1

yi+1 yi

 

 

 

 

 

 

 

 

=

xi+2

xi+1

xi+1 xi

, i =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, n 2.

 

 

 

 

 

xi+2

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

Определение 3. Разделенной разностью функции (3.1) n-го порядка в узле x0 называют отношение

f (x0 , x1 ,..., xn ) = f (x1 ,..., xnx)nfx(0x0 ,..., xn1 ) .

С использованием разделенных разностей интерполяционный полином Ньютона записывается в форме:

Nn (x) = f (x0 ) + f (x0

, x1 )(x x0 ) + f (x0

, x1

, x2 )(x x0 )(x x1 ) +

(3.8)

+... + f (x0 , x1 ,..., xn )(x x0 )(x x1 )...(x xn1 ).

 

Отметим, что при добавлении новых узлов первые члены многочлена Ньютона остаются неизменными.

Если функция задана в точках x0 , x1,..., xn , то при построении интерполя-

ционного многочлена Ньютона удобно пользоваться таблицей, называемой таб- лицей разделенных разностей, пример которой для n = 4 приведен в табл. 3.1.

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.1

 

 

 

 

 

 

 

x0

f (x0 )

f (x0 , x1)

 

 

 

x1

f (x1)

f (x0,x1,x2 )

f (x0,x1,x2,x3)

 

f (x , x )

 

x2

f (x2 )

f (x0,x1,x2,x3,x4)

1

2

f (x1,x2,x3)

f (x1,x2,x3,x4)

 

 

 

 

x3

f (x3)

f (x2 , x3 )

f (x2,x3,x4 )

 

f (x3, x4 )

 

 

x4

f (x4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для повышения точности интерполяции в сумму (3.8) могут быть добавлены новые члены, что требует подключения дополнительных интерполяционных узлов. При этом безразлично, в каком порядке подключаются новые узлы. Этим формула Ньютона выгодно отличается от формулы Лагранжа.

3 . 2 . 3 . Погрешность полиномиальной интерполяции

Ясно, что в узлах интерполяции погрешность интерполяционного полинома

6

www.uchites.ru

Ln (x) или Nn (x) равна нулю:

Ln (xi )yi = 0 , i = 0, n .Nn (xi )yi

Погрешность Ln (x) f (x) , представляющая собой разность между значением интерполяционного многочлена Ln (x) и значением функции f (x) в точке x , не совпадающей с узлом интерполяции имеет вид:

f (

 

)Ln (

 

)=

f (n+1)(ξ)

(x x0 )(x x1 )...(x xn ), ξ (a,b) .

 

x

x

(3.9)

(n +1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

x - точка, в которой ищется погрешность (не совпадает с узлами интерполяции).

Поскольку точка ξ (a, b) неизвестна, то вместо погрешности (3.9) вводится

верхняя оценка погрешности в виде

 

 

 

 

f (n+1)(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) L (x)

 

x [a,b]

 

 

 

 

 

 

(x x

 

)(x x )...(x x

)

 

,

(3.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

(n +1)!

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

0

1

n

 

 

 

которая и используется на практике.

Таким образом, погрешность интерполяции зависит как от величины соответствующей производной приближаемой функции, так и от расположения узлов. Минимизировать погрешность приближения достаточно гладкой функции на отрезке [a, b] полиномом степени n можно, расположив узлы интерполяции

следующим образом:

xi =

a +b

+

b a

ti , i =

 

,

 

0, n

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

где ti = cos

2i +1

π - корни

полинома

Чебышева H n (x) = cos(n arccos x) (или в

n

 

 

 

 

 

 

 

рекуррентном виде H 0 (x) =1,

H1 (x) = x ,

H n (x) = 2xH n1 (x) H n2 (x) ).

Отметим также, что такое расположение узлов интерполяции гарантирует сходимость интерполяционного полинома к приближаемой функции при повышении числа узла интерполяции (степени полинома), тогда как при равномерном распределении узлов в ряде случаев может наблюдаться расходимость (такая ситуация хорошо иллюстрируется известным примером

7

www.uchites.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рунге, в котором функция

f (x) =

 

1

приближается

 

интерполяционным

 

+ 25x2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

полиномом на отрезке [1,1] ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа,

совпадающий с функцией

f (x)= 3x , x [1,1] в точках

x

0

= −1, x = 0,

x

2

=1.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Вычислить значение сеточной функции и оценить погрешность интерполяции в точке x* = 0,5.

Р е ш е н и е.

Составим сеточную функцию и занесем ее в таблицу. Поскольку n = 2 , то необходимо построить интерполяционный полином L2 (x) .

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 = −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0 =1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

(x)= y

 

 

 

 

(x x1 )(x x2 )

 

 

+ y

 

(x x0 )(x x2 )

 

 

+ y

 

 

(x x0 )(x x1 )

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(x

0

x )(x

0

x

2

 

 

 

1

 

(x

x

0

)(x

x

2

 

 

2 (x

2

x

0

)(x

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

=

2

x2 +

4

 

x +1. Проверим условия интерполяции

L

(1)=1 3; L

(0)=1; L (1)= 3.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение

 

сеточной

 

 

 

 

функции

 

в

 

 

 

точке

 

x* = 0,5

 

вычислим по

интерполяционному многочлену y(0,5)L2 (0,5)=1,8333 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Верхнюю оценку погрешности интерполяционного многочлена определим в

соответствии с выражением (3.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

f

′′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x* )L2 (x* )

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

(x* x0 )(x* x1 )(x* x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x [1,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

f

 

(x)

=

max

3

x

ln

3

3

 

 

 

1

ln

3

3

= 3,978

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x [1,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x [1,1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,978

 

(0,5

+1)(0,5

0)(0,5 1)

 

= 0,249.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

0,25

+

 

 

0,5

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

www.uchites.ru

Поскольку функция f (x) = 3x известна, то можно вычислить точное значение

абсолютной погрешности в точке x* = 0,5

 

x*

L2 (x

*

)

 

 

0,5

 

2

 

 

4

 

 

= 0,1012,

 

 

 

 

 

 

3

 

 

=

3

 

 

0,25

+

 

0,5

+1

 

 

 

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. верхняя оценка погрешности примерно в 2,5 раза превышает абсолютную погрешность в точке x* = 0,5 .

Пример 3.2. Для заданной таблицы

xi

x0 = −1

x1 = 0

x2

= 2

yi

y0 =1 3

y1 =1

y2

= 9

 

 

 

 

 

составить интерполяционный полином Ньютона.

Р е ш е н и е.

Таблица задана с неравномерным шагом, поэтому для решения задачи воспользуемся многочленом Ньютона с разделенными разностями (формула

(3.8))

N2 (x)= f (x0 )+ f (x0 , x1 )(x x0 )+ f (x0 , x1 , x2 )(x x0 )(x x1 ),

где f (x0 )= y0 =13 ;

f (x

0

, x )=

y1 y0

=

1 1 3

=

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x1 x0

0 +1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 y1

y1 y0

 

 

 

9 1

1 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 +1

= 10 .

f (x

0

, x , x

2

)=

x2 x1

x1 x0

=

 

2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x2

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +1

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, N2 (x)=

10

x2

+

 

16

x +1.

 

9

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия интерполяции соблюдены: N2 (1)=13; N2 (0)=1; N2 (2)= 9.

9

www.uchites.ru

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.