Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

nummethod_book_chapter3-12

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
15.05.2015
Размер:
485.56 Кб
Скачать

www.uchites.ru

3 . 2 . 4 . Сплайн- интерполяция

Рассмотренная в предыдущих разделах интерполяция, когда интерполяционный полином строится сразу по всем узлам интерполяции называется глобальной интерполяцией. При этом увеличение числа узлов автоматически приводит к повышению степени полинома, и как следствие, к проявлению его колебательных свойств (рис. 3.2).

Поэтому обычную полиномиальную интерполяцию осуществляют максимум по 3-4 узлам. Интерполяцию по нескольким узлам таблицы (3.1), называют

локальной.

y

 

 

 

Ln(x)

 

y

 

 

 

 

 

Nn(x)

 

L2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

L2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

y1

y2

 

yn

 

 

 

x0

x1

x2

.......................

xn

x

x*

x

Рис. 3.2. Проявление колебательных

 

Рис. 3.3. Локальная интерполяция по

 

 

каждым трем узлам

 

 

 

свойств глобального

 

 

 

 

 

 

 

интерполяционного полинома

 

 

 

Однако, такая локальная интерполяция с помощью Ln или Nn страдает тем недостатком, что интерполирующая функция в узлах стыковки полиномов имеет непрерывность только нулевого порядка, т.е. интерполирующая функция принадлежит классу функций C0 (см. рис. 3.3 для L2 , N2 в узлеx* ).

От этих недостатков свободна сплайн-интерполяция, которая требует непрерывности в узлах стыковки локальных многочленов по производным соответственно порядка один, два, и т.д.

Определение. Сплайном - степени m дефекта r называется (m-r) раз непрерывно дифференцируемая функция, которая на каждом отрезке

[xi xi1 ], i =1, n. представляет собой многочлен степени m.

11

www.uchites.ru

Наиболее распространенными в науке и технике являются сплайны 3-й степени дефекта один, т.е.

m = 3

m r = 3 1 = 2, r = 1

т.е. дважды непрерывно дифференцируемый многочлен 3-й степени на каждом

отрезке [xi , xi1 ], i =1, n. . Сплайны, удовлетворяющие условию интерполяции,

называются интерполяционными.

Основным достоинством интерполяционного кубического сплайна дефекта один является следующее: этот сплайн обладает минимумом интегральной кривизны на всем заданном отрезке [a,b] по сравнению с другими

интерполяционными функциями f (x) , т.е.

b b

[S′′(x)]2 dx [ f ′′(x)]2 dx .

a a

Геометрически это означает, что если тяжелую упругую нить повесить на ряд гвоздей, то она примет форму кубического сплайна дефекта 1, приведенную на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Тяжелая упругая нить, геометрически представляющая собой кубические сплайны дефекта один

Рассмотрим алгоритм построения интерполяционного кубического сплайна

S (x) ,

i =

1, n

дефекта один в соответствии с таблицей (3.1). Кубический полином

Si (x)

на отрезке x [xi1 , xi ] имеет четыре неизвестных коэффициента. Количество

отрезков [xi1 , xi ] в соответствии с таблицей (3.1) равно n . Для определения 4 ×n

коэффициентов имеются следующие условия в узлах интерполяции:

условие интерполяции

S(xi ) = yi ,

i =

0, n

;

 

 

 

 

 

непрерывность сплайна

S(xi 0) = S(xi +0) ,

i =

 

;

 

 

1, n 1

непрерывность производных 1-го порядка

S (xi

0) = S (xi +0) , i =

 

;

1, n 1

12

www.uchites.ru

непрерывность производных 2-го порядка S ′′(xi 0) = S ′′(xi +0) , i =1, n 1.

Таким образом, всего имеется (n +1) +3(n 1) = 4n 2 условий. В качестве двух

недостающих условий задают значения производных 1-го или 2-го порядка в узлах x0 и xn . Для вывода используем значения S ′′(x0 ) = S ′′(xn ) = 0 . В этом случае сплайн называется естественным.

′′

 

, xi ] рассмотрим поведение функции q(x)

Пусть S (x) = q(x) . На отрезке [xi1

(см. рис.3.5) .

 

 

 

 

 

qi

 

qi-1

q(x)=L1(x)

q(x)=L1(x)

qi+1

 

 

xi-1

hi

xi

hi+1

 

 

xi+1

Рис. 3.5. Поведение функций S ′′(x) на элементарных отрезках

Поскольку сплайн является многочленом 3-й степени, то на каждом отрезке[xi1 , xi ] 2-я производная будет линейна. Найдем ее с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 1-й степени L1 (x) :

q(x) = q

 

x xi

+ q

 

x xi1

.

(3.11)

i1 xi1 xi

 

 

 

i xi xi1

 

Выражение (3.11) уже удовлетворяет условиям непрерывности производных

2-го порядка. Действительно, подставим в (3.11)

x = xi 0 , получим q(xi 0) = qi .

Затем, выписывая выражение (3.11) для отрезка x [xi , xi+1 ]

q(x) = q

 

xi+1 x

+ q

 

x xi

,

x [x

, x

 

], i =

 

 

i

 

i+1

1, n 1

 

 

 

h

i+1 h

i

 

 

 

 

 

 

i+1

 

i+1

 

 

 

 

 

 

и подставляя в него xi +0 вместо x ,

получим

q(xi + 0) = qi , что и требовалось

показать.

Для нахождения сплайна проинтегрируем дважды выражение (3.11), получим

13

www.uchites.ru

S(x) = q

 

 

(x

i

x)3

 

+ q

 

 

 

(x x

 

 

)3

+ C x + C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6hi

 

 

 

 

 

 

 

6hi

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где C1 и C2 найдем из удовлетворения значений сплайна (3.12) в узлах

xi1 , xi

условиям интерполяции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(x

i1

) = y

i1

= q

i1

 

(xi xi1 )3

 

+ q

 

(xi1 xi1 )3

 

+C x

 

+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6hi

 

 

 

 

 

 

6hi

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi xi )3

 

 

 

(xi xi1 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(x

i

) = y

i

 

= q

i1

+ q

 

 

+C x

 

+C

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6hi

 

 

 

 

 

 

 

6hi

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая эту СЛАУ относительно C1 , C2 и подставляя их в (3.12), найдем

следующее выражение для сплайна степени 3 дефекта 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

hi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi x)

 

 

 

 

(x xi1 )

 

 

 

yi1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(x) = qi1

 

+ qi

 

 

 

 

qi1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6h

 

 

 

 

 

6h

 

 

 

 

 

+

h

(xi x)+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.13)

 

yi

 

 

 

hi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x [xi1 , xi ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ h

 

 

6

(x xi1 ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

этом

сплайне

 

узловые

 

 

значения для

 

вторых

производных qi

пока

неизвестны. Будем искать их из условий непрерывности первых производных в узлах xi .

Для нахождения производной S (xi

 

+0) запишем (3.13) для отрезка [xi , xi+1 ]

 

 

 

 

 

 

(xi+1 x)

3

 

 

 

 

 

(x xi )

3

 

 

 

 

 

 

 

 

hi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

S(x) = qi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ qi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

qi

 

 

(xi+1 x) +

 

 

 

 

 

 

6h

 

 

 

 

 

6h

 

 

 

h

+1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i+1

 

 

 

i

 

 

 

 

 

(3.14)

 

 

 

 

yi+1

 

 

 

 

 

 

hi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[xi , xi+1 ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi+1

 

 

 

 

 

(x xi ),

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляя от (3.13) и (3.14) производные первого порядка и подставляя в них

значение x = xi , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (xi 0) = qi1

hi

+ qi

hi

+

yi yi1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

3

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (xi +0) = −qi

 

hi+1

qi+1

hi+1

+

 

 

yi+1 yi

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравняем эти выражения в соответствии с условиями непрерывности

первых производных в узлах интерполяции xi , получим

 

q

 

hi

+ q

 

 

hi + hi+1

 

+ q

 

 

hi+1

 

=

yi+1 yi

 

 

yi yi1

, i =

 

;

(3.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, n 1

 

 

 

 

i+1 6

 

 

 

 

 

i1 6

 

 

i

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i+1

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

www.uchites.ru

 

q0 = qn = 0.

(3.16)

Система (3.15) с заданными краевыми условиями (3.16) – СЛАУ относительно qi = S ′′(xi ) , i =1, n 1 имеет трехдиагональную матрицу и, следовательно, ее можно

решать методом прогонки. Подставляя найденные qi , i = 0, n в (3.13), получим кубические сплайны дефекта один на каждом отрезке x [xi1 , xi ], i =1, n.

Таким образом, определяющими выражениями для определения кубических сплайнов дефекта один являются выражения (3.13), (3.15), (3.16).

Пример 3.3. Для заданной таблицы с h = xi xi1 =1 = const построить интерполяционный кубический сплайн дефекта один, выписав соответствующие

уравнения

на каждом

отрезке

x [xi1 , xi ],

i =

 

. Проверить

непрерывность

1, 4

сплайна и его производных до второго порядка включительно в узле x* = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

0

1

 

 

2

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

x0

=1

x1 = 2

 

x2

= 3

 

 

 

x3 = 4

 

x4 = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

y0

=1

y1 = 3

 

y2

= 6

 

 

 

y3 = 9

 

y4 = 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

0

18 7

 

30 7

 

102 7

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е.

Под заданной таблицей сформируем дополнительную строку для вторых производных S′′(xi )qi сплайнов, которая заполняется по мере их вычисления

(сразу можно вписать в нее q0 = q4 = 0 ).

Для узлов x1 = 2; x2 = 3; x3 = 4 с учетом q0 = q4 = 0 составляется СЛАУ (3.15)

относительно неизвестных q1 , q2 , q3

15

www.uchites.ru

 

 

2

q

+

 

1

q

2

=

y2 y1

 

 

y1 y0

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

3

1

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

y

 

y

 

 

 

1

q1

+

 

2

 

q2

+

1

q3 =

3

2

2

= 0

i = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6

 

3

 

6

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

1

q2

+

 

2

q3

=

 

y

4

3

 

y

3

2

 

= 9.

 

i = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляются прогоночные коэффициенты по формулам

 

 

 

A =

ci

 

;

B =

di ai Bi1

,

i =1,2,3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

bi + ai Ai1

 

i

 

bi + ai Ai1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= c

3

= 0,

A = −

1

 

; B =

 

3

; A

= −

4

; B

2

= −

2

; A

= 0;

B =

102

и

значения

 

 

 

 

 

1

 

 

1

4

 

1

 

2

 

2

15

 

 

5

3

 

3

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qi = Ai qi+1 + Bi , i = 3,2,1:

q3 = A3q4 + B3 = B3 =1027;

q

2

= A q

3

+ B

2

= −

4

 

 

102

 

2

= −

30

;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

15

 

 

 

7

 

 

5

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

= A1q2

+ B1

= −

1

 

 

30

 

+

3

=

18

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

7

 

2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заносим эти значения в дополнительную строку таблицы и для каждого из четырех интервалов выписываем уравнения сплайна (3.13).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

x)3

 

 

 

 

(x

x

0

)3

 

 

y

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

i =1:S

I

(x)

= q

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

+ q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

(x

x)+

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

 

1

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108

(x 1), x [1; 2];

+

 

 

 

1

 

q

 

 

 

 

 

(x x

 

)=

 

 

 

 

 

(x

1)

 

 

+

(2 x)+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

42

 

 

 

 

42

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

x)3

 

 

 

 

(x x

)3

 

y

 

 

 

 

 

1

 

 

 

i = 2 :S

II

(x)= q

 

 

 

 

 

 

 

 

+ q

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+

 

 

 

1

q

 

 

 

(x

 

x)+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

6

 

2

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

3

 

+

 

 

 

 

q

 

 

 

 

(x x

 

)=

 

 

 

 

 

(3 x)

 

+

 

 

 

 

(x 2)

 

+

 

 

 

 

2 6

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

108

(3 x)+

 

282

(x 2),

x [2;3];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

www.uchites.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

3

x)3

 

 

 

 

 

 

(x

x

2

)3

 

 

y

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i = 3 :S

III

 

(x)= q

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ q

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

q

2

 

 

(x

3

 

x)+

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

y

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

3

 

 

102

 

 

 

 

3

 

 

282

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

(x

x

 

)= −

 

 

 

 

 

 

(4 x)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

3) +

 

 

 

(4

x)

+

 

1

 

3 6

2

42

 

 

 

 

42

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

276

(x 3),

 

 

x [3; 4];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

4

x)3

 

 

 

 

 

 

 

 

(x x

3

)3

 

 

y

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i = 4 : S

IV

 

(x)= q

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ q

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

q

3

 

 

 

(x

4

x)+

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102

 

 

 

3

 

 

276

 

x)+ 21(x 4), x [4,5].

+

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

(x x

 

 

)

=

 

 

 

 

 

 

 

(5 x)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

(5

 

 

 

 

 

 

4 6

 

3

 

42

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим правильность построения сплайна для узла x* = 2. К данному узлу

примыкают кривые S1 (x) и S2 (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1 (2 0)= 3; SII (2 +0)= 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1' (2 0)=

 

120

; SII

 

(2 +0)

 

=

120

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

108

 

 

 

 

 

′′

(2 +0)

 

=

108

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1 (2 0)=

 

42

 

; SII

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 . 2 . 5 . Тригонометрическая интерполяция

Поскольку многие явления в природе имеют циклический характер, широкое практическое применение получила интерполяция дискретных периодических функций тригонометрическими полиномами вида:

T (x) = (ak cos(αk x) +bk sin(αk x)),

k

где αk = 2πLk - частота k -ой гармоники, L - период, ak ,bk - коэффициенты разложения.

Такой подход позволяет представить сложную циклическую структуру в виде суперпозиции простых периодических функций (элементарных гармоник).

Рассмотрим таблично заданную на периоде L функцию yi (xi ) с равномерным распределением узлов ( xi = x0 +ih , h = L / n , i = 0, n) .

17

www.uchites.ru

 

xi

x0

 

x1

 

...

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

y0

 

y1

 

...

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

Тогда, если n - четно ( n = 2m ), существует единственный интерполяционный

тригонометрический

полином

Tm (x)

степени

m = n / 2 , удовлетворяющий

условиям Tm (xi ) = yi ,

i =

 

:

 

 

 

 

 

 

 

0, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

2πk

 

 

 

 

2πk

 

 

Tm (x) = a0

+ ak

cos

 

 

(x x0 ) +bk sin

 

(x x0 ) .

L

L

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты разложения определяются следующим образом:

 

 

1

 

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

=

 

yi ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

n1

i

 

 

 

2

n1

i

 

 

 

 

ak

=

 

yi cos(2πk

) ,

bk

=

yi sin(2πk

) ,

k =

1, m 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

n i=0

n

 

 

n i=0

n

 

 

 

1 n1

am = n i=0 yi cos(iπ) .

Отметим, что периодичность исходной функции yi (xi ) предполагает, что y0 = yn . Если это условие не выполнено, то построенный тригонометрический полином будет удовлетворять условиям интерполяции во всех узлах, кроме последнего, т.е. Tm (xi ) = yi , i = 0, n 1. В последнем узле будет выполняться условие периодичности Tm (xn ) = Tm (x0 ) .

Найдите больше информации на сайте Учитесь.ру (www.uchites.ru)!

18

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.