Лабораторная работа № 4 Транспортная задача

Теоретические положения

Постановка транспортной задачи состоит в следующем. Имеется m поставщиков товара, каждый из которых обладает мощностью M (i = 1, 2,…, m), и n потребителей товара с мощностями (потребностями) N (j = 1, 2,…, т). Стоимости перевозок единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю c известны и называются коэффициентами затрат. Найти объемы перевозок x для каждой пары «поставщик – потребитель» так, чтобы:

1. мощности всех поставщиков были реализованы;

2. спросы всех поставщиков удовлетворены;

3. суммарные затраты на перевозку были бы минимальными.

Математически требования 1) и 2) могут быть записаны:

=M, i = 1, 2,…,m; (1)

=N, j = 1, 2,…,n.. (2)

Первое выражение включает в себя уравнения баланса по строкам таблицы поставок, а второе - по столбцам. Эти уравнения составляют систему ограничений задачи. Целевая (линейная) функция в общем случае имеет вид:

F = . (3)

Математически формулировка транспортной задачи в общей постановке будет следующей: на множестве неотрицательных (допустимых) решений системы ограничений (1) и (2) найти такое решение X = (x, x,…, x,…,x), при котором значение целевой функции (3) минимально.

Выражения (1) – (3) линейны относительно переменных, в связи с чем транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования. Особенности экономико-математической модели транспортной задачи состоят в следующем:

- система ограничений есть система уравнений, т.е. задача задана в канонической форме;

- коэффициенты при переменных системы ограничений равны единице или нулю;

- каждая переменная входит в систему ограничений два раза: один раз – в систему (1) и один раз - в систему (2).

Кроме того, в рамках рассматриваемой работы рассматриваются задачи, в которых суммарная мощность поставщиков равна суммарной мощности потребителей, т.е.

= .

Такие транспортные задачи называются закрытыми.

Являясь задачей линейного программирования, транспортная задача может быть решена симплексным методом. Модификация симплексного метода применительно к транспортной задаче называется распределительным методом.

Пример

Решить транспортную задачу распределительным методом. Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 3

	20	30	50	60	40
40	2	3	1	4	5
30	1	3	2	3	3
20	4	3	2	3	3
60	5	3	2	1	1
50	3	4	2	5	1

В первом столбце таблицы приведены мощности поставщиков M, в первой строке - мощности потребителей N. В левых верхних углах каждой ячейки таблицы указаны коэффициенты затрат. Например: стоимость перевозки единицы груза от первого поставщика второму потребителю (клетка (12)) составляет три денежных единицы.

Нахождение первоначального базисного распределения поставок. Базисным называется распределение, удовлетворяющее требованиям (1) и (2), а также содержащее определенное количество заполненных клеток таблицы. Это количество равно рангу матрицы r = m + n –1. Последнее условие определено спецификой симплексного метода, в котором количество основных переменных строго определено. В распределительном методе основными переменными являются переменные в заполненных клетках таблицы.

I шаг решения

Формирование первоначального базисного распределения поставок чаще всего производится методом «северо-западного угла» или методом наименьших затрат. Найдем такое распределение методом «северо-западного угла». Дадим переменной x максимально возможное значение, т.е. максимально возможную поставку в клетку (1,1) - «северо-западный» угол таблицы поставок: x = min(40, 20) = 20. После этого спрос первого потребителя будет удовлетворен, в результате чего первый столбец таблицы поставок выпадет из последующего рассмотрения (заполненные клетки будем перечеркивать сплошной линией, а клетки, выпавшие из рассмотрения - пунктирной). Далее в таблице поставок найдем новый северо-западный угол - клетку (1,2) в нее максимально возможную поставку. Учитывая, что первый поставщик уже отдал 20 единиц груза, поставка будет равна x = min (20, 30) = 20. После этого мощность первого поставщика будет полностью реализована и из рассмотрения выпадает первая строка таблицы поставок. Следуя этой схеме, производим заполнение остальных клеток таблицы. В результате получим:

Таблица 4

2 20	3 20		1			4	5	-2
1	3 10		2 20			3	3	-2
4	3		2 20			1	2	-2
5	3		2 10			1 50	1	-2
3	4		2			5 10	1 40	-6
0		-1		0	1		5

Приведенное в таблице распределение поставок является базисным. Здесь выполняются условия баланса по строкам и столбцам таблицы, а число заполненных клеток равно r = 5 + 5 – 1 = 9. Общая стоимость перевозок, т.е. значение целевой функции может быть получено как сумма по всем клеткам таблицы произведений коэффициентов ликвидности на соответствующие объемы перевозок: F = 2×20 +3×20 + 3×10 + 2×20 +2×20 + 2×10 + 1×50 + 5×10 + 1×40 = 370.

Полученное решение может оказаться искомым оптимальным решением задачи. В симплексном методе факт оптимальности базисного решения устанавливается по выражению целевой функции через неосновные переменные. Для приведенной таблицы это выражение будет иметь вид: F = 370 + x, где индексы k и l соответствуют незаполненным клеткам таблицы. Для определения коэффициентов строится матрица оценок свободных клеток таблицы перевозок. Для этого каждой строчке и каждому столбцу таблицы назначается некоторое число, называемое потенциалом. Потенциалом строчки или столбца может быть произвольное число. Однако для каждой заполненной клетки таблицы должно выполняться условие:сумма потенциала строки, потенциала столбца для данной клетки и коэффициента затрат клетки должна быть равна нулю.

Назначение потенциала можно начинать с любой строчки или столбца таблицы. Проиллюстрируем порядок расстановки потенциалов на примере таблицы 2. Возьмем первый столбец таблицы и назначим ему потенциал равный нулю (последняя строка таблицы). В рассматриваемом столбце имеется заполненная клетка (1, 1) с коэффициентом затрат равным 2. Для выполнения сформулированного выше условия необходимо, чтобы потенциал первой строки был равен -2 (последний столбец таблицы). Обратим внимание на то, что в строке с назначенным потенциалом находится еще одна заполненная клетка (1, 2). Найдем потенциал второго столбца равный - 1 ( -2 + 3 – 1 = 0). Затем по той же схеме находим потенциалы всех остальных элементов таблицы поставок.

Найдем оценки свободных клеток как сумму потенциалов строки и столбца и коэффициента затрат клетки. Например, для клетки (1, 3): 0 + 1 – 2 = - 1. Аналогично для клетки (2, 5): 5 +3 – 2 = 6 и так далее. В результате получаем матрицу оценок:

В = .

В соответствии с полученной матрицей выражение целевой функции через неосновные переменные примет вид:

F = 370 - x + 3 x + 8x - x - …- 4x.

Рассматриваемая задача является задачей на определение минимума целевой функции, поэтому наличие отрицательных коэффициентов при переменных свидетельствует о возможности уменьшения значения функции путем перевода соответствующей неосновной переменной в основные. Таким образом, критерием получения оптимального решения транспортной задачи является отсутствие отрицательных элементов в матрице оценок свободных клеток.

В соответствии с этим на втором шаге решения переменную x переведем в основные. Это означает, что ее значение станет 0. Однако дополнительная поставка в клетку(5,3) приведет к нарушению баланса в пятой строке и третьем столбце. Для предотвращения этого строится цикл пересчета. Циклом пересчета называют ломаную с вершинами в клетках и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов таблицы поставок, удовлетворяющую условиям:

- ломаная должна быть связной, т.е. из любой ее вершины можно попасть в любую другую по звеньям ломаной;

- в каждой вершине ломаной встречаются два звена, одно из которых располагается по строке, другое по столбцу;

- одна из вершин цикла лежит в свободной клетке, остальные - в заполненных;

- цикл пересчета называется означенным, если в его вершинах расставлены знаки «+» и « – « так, что в свободной клетке стоит знак «+», а соседние вершины имеют противоположные знаки.

Для каждой свободной клетки базисного распределения поставок существует и притом единственный цикл пересчета.

Построим цикл пересчета для клетки (5, 3).

(4,3) – + (4, 4)

10 50

(5,3) + – (5, 4)

10

Далее необходимо определить максимально возможный размер поставки в свободную клетку (5, 3). Для сохранения условий баланса в сточках и столбцах таблицы поставок при назначении поставки в свободную клетку необходимо изъять такую же поставку из соседних клеток, означенных « – «. С учетом того, что поставка не может быть отрицательной (нулем поставка может быть) получим: x = min(10, 10) = 10. При изъятии 10 единиц продукции из клеток (4, 3) и (5, 4) в этих клетках остаются нулевые поставки. Любая из этих клеток может быть свободной на следующем шаге решения.

Однако общее количество заполненных и свободных клеток на каждом шаге решения должно оставаться постоянным. В соответствии с этим одна из двух обозначенных клеток считается заполненной нулевой поставкой. Пусть это будет клетка (4, 3), а клетка (5, 4) останется свободной. После этого реализуем второй шаг решения задачи.

II шаг

Проведенное исследование дает возможность сформировать новое базисное распределение поставок, показанное в таблице 2.

Таблица 5

2 20	3 20		1			4	5	-2
1	3 10		2 20			3	3	-2
4	3		2 20			1	2	-2
5	3		2 0			1 60	1	-2
3	4		2 10			5	1 40	-2
0		-1		0	1		1

В дальнейшем нет необходимости перечеркивать свободные клетки таблицы поставок, поэтому в них приводятся только коэффициенты затрат.

Матрица оценок свободных клеток имеет вид:

В = .

Дадим поставку в клетку с отрицательной оценкой (1, 3). Цикл пересчета имеет вид:

(1,2) – + (1,3)

20

(2,2) + – (2,3)

10 20

Максимально возможная поставка x = min (20, 20) = 20. Свободной на следующем шаге будем считать клетку (1, 2).

III шаг

Таблица поставок:

Таблица 6

2 20	3		1 20			4	5	-2
1	3 30		2 0			3	3	-3
4	3		2 20			1	2	-3
5	3		2 0			1 60	1	-3
3	4		2 10			5	1 40	-3
0		0		1	2		2

Матрица оценок свободных клеток:

В = .

Цикл пересчета для клетки (2, 1):

(1,1) – + (1,3)

20 20

(2,1) + – (2,3)

0

Максимально возможная поставка в клетку (2,1) равна:

x = min (20, 0) = 0.

На первый взгляд может показаться, что нулевая поставка в рассматриваемую клетку лишена смысла, т.к. не скажется на значении целевой функции. Однако в симплексном методе значение целевой функции не должно ухудшаться от одного шага к другому, т.е. вариант с неизменным значением функции не противоречит логике метода. Реализация этого шага изменяет статус клеток цикла. Заполненная клетка (2,3) становится свободной, а клетка (2,1) – заполненной нулевой поставкой. В результате этого изменяются потенциалы элементов таблицы поставок и матрица оценок свободных клеток.

IV шаг

Таблица поставок:

Таблица 7

2 20	3		1 20			4	5	-2
1 0	3 30		2			3	3	-1
4	3		2 20			1	2	-3
5	3		2 0			1 60	1	-3
3	4		2 10			5	1 40	-3
0		-2		1	2		2

Матрица оценок свободных клеток:

В = .

Дадим поставку в клетку с отрицательной оценкой (3,2). Цикл пересчета для этой клетки:

(1,1) – + (1,2)

20

(2,1) + – (2,2)

0 30

Максимально возможная поставка в клетку (1,2):

x = min (20, 30) = 20.

V шаг

Таблица распределения поставок:

Таблица 8

2	3 20		1 20			4	5	-1
1 20	3 10		2			3	3	-1
4	3		2 20			1	2	-2
5	3		2 0			1 60	1	-2
3	4		2 10			5	1 40	-2
0		-2		0	1		1

Матрица оценок свободных клеток:

В = .

Цикл пересчета для клетки (3,2):

(1,2) – + (1,3)

20 20

(3,2) + – (3,3)

20

Максимально возможная поставка в клетку (3,2):

x = min (20, 20) = 20.

VI шаг

Таблица распределения поставок:

Таблица 9

2	3		1 40			4	5	0
1 20	3 10		2			3	3	-1
4	3 20		2 0			1	2	-1
5	3		2 0			1 60	1	-1
3	4		2 10			5	1 40	-1
0		-2		-1	0		0

Матрица оценок свободных клеток:

В = .

Полученная матрица не содержит отрицательных элементов, что свидетельствует об оптимальности последнего базисного распределения поставок. Вычислим значение целевой функции для этого распределения:

F = 1×20 + 3×10 + 3×20 + 1×40 + 2×10 + 1×60 + 1×40 = 270.

Полученное решение является конечным решением транспортной задачи.