Лабораторная работа № 3 Двойственные задачи линейного программирования

Теоретические положения

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности используется для проведения качественных исследований задач линейного программирования.

Рассмотрим экономический смысл двойственной задачи. В качестве исходной возьмем задачу, рассмотренную в первой лабораторной работе. Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы, которыми располагает фирма (см. предыдущую задачу). Необходимо определить оптимальные цены на эти ресурсы. Под оптимальными в данном случае понимают цены, приемлемые как для продавца, так и для покупателя.

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты Z на все ресурсы в количествах b, b,…, b по ценам y, y, …, y , были минимальны, т.е.

Z = by + by +…+ by min.

С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная от продажи выручка была бы не менее выручки от реализации произведенной продукции. На изготовление единицы продукции первого вида расходуется a ресурса первого вида, a ресурса второго вида, a ресурса m-го вида. Поэтому для удовлетворения интересов продавца выручка то продажи ресурсов, необходимых для производства единицы продукции первого вида, должна быть не меньше ее цены c, т.е.

a y + a y + … + a y c.

Аналогично можно составить неравенства по другим видам продукции.

Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи приведены в таблице.

Таблица 2

Задача I (исходная)	Задача II (двойственная)
F=cx+cx+…+cxmax при ограничениях: ax+ax…+axb, axax+…+axb ………………………………………. ax+ax+…+axb и условии неотрицательности x0 (j=1,2,…,l;ln). Составить такой план выпуска продукции X=(x,x,…,x), при котором выручка от реализации продукции будет максимальна при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.	Z=b y+b y+…+ b y min при ограничениях: ay+ ay+…+ ayc, ay+ ay+…+ a y c, ……………………………………………. ay + ay +…+ ay c, и условии неотрицательности y0 (i=1,2,…,m). Найти такой набор цен Y = (y, y, … , y), при котором затраты покупателя на приобретение ресурсов минимальны, а выручка от продажи ресурсов, идущих на производство продукции каждого вида, будет не менее выручки от реализации этой продукции.

Алгоритм составления двойственной задачи.

1. Составить расширенную матрицу системы A, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных системы ограничений, столбец свободных членов системы и строку коэффициентов при переменных в выражении целевой функции.

2. Найти матрицу A, транспонированную к матрице A.

3. Сформулировать двойственную задачу на основе полученной матрицы A и условия неотрицательности переменных.

Пример

Используя в качестве исходной задачу линейного программирования из лабораторных работ № 1,2, составить двойственную ей задачу и решить симплексным методом.

Условие исходной задачи

Система ограничений:

x+3x

2x+x

x

3x .

Дополнительные условия задачи:

x x

Линейная функция имеет вид:

F=2xxmax.

1. Составим расширенную матрицу системы

A = .

2. Найдем транспонированную матрицу

A = .

3. Сформулируем двойственную задачу

Z =18 y + 16 y+5y+ 21 ymin

при ограничениях

y+ 2 y+ 3 y2,

3 y+ y+ y3.

Решение

Введем дополнительные неотрицательные переменные y и y со знаком «минус», т.к. неравенства имеют вид «». Получим систему уравнений

y + 2 y + 3 y - y = 2,

3 y + y + y - y = 3.

Если в качестве основных переменных взять как в исходной задаче дополнительные переменные, то получим базисное решение: (0; 0; 0; 0; -2; -3). Наличие отрицательных компонент в решении свидетельствует о его недопустимости. Поэтому следует выбрать набор основных переменных, дающих допустимое решение.

I шаг

Основные переменные: y, y.

Неосновные переменные: y, y, y, y.

Выражаем основные переменные через неосновные

y = 3 - 3 y - y + y,

y = (2/3) – (1/3) y - (2/3) y + (1/3) y.

Первое базисное решение Y = (0; 0; 3;2/3; 0; 0) является допустимым. Выражаем целевую функцию через неосновные переменные: Z = 18 y + 16 y + 5 y + 21 y = 18 y + 16 y + 5(3 - 3 y - y + y) + 21((2/3) – (1/3) y - (2/3) y + (1/3) y) = 29 - 4 y - 3 y + + 7 y + 5 y. Коэффициенты при переменных y и y отрицательны, что свидетельствует о возможности дальнейшего уменьшения значения функции Z. На следующем шаге будем переводить переменную y в основные. Для нее наибольшее возможное значение y = min(3/3; 2/3; 1/3) = 1, а первое уравнение является разрешающим.

II шаг

Основные переменные: y, y.

Неосновные переменные: y, y, y, y.

После преобразований получим

y = 1 - (1/3) y - (1/3) y + (1/3) y,

y = 1/3 – (5/9) y + (1/9) y + (1/3) y - (1/9) y,

Z = 25 – (5/3) y + (4/3) y + 7 y + (11/3) y.

Переменную yпереводим в основные. Ее наибольшее возможное значение y = min(3; 3/5) = 3/5. Второе уравнение является разрешающим, а переменная y переходит в неосновные.

III шаг

Основные переменные: y, y.

Неосновные переменные: y, y, y, y.

y= (4/5) – (2/5) y+(3/5) y-(1/5) y+(2/5) y,

y=(3/5) + (1/5) y-(9/5) y+(3/5) y-(1/5) y,

Z = 24 + y + 3 y + 6 y + 4 y.

Базисное решение Y = ((4/5); (3/5); 0; 0; 0; 0) является оптимальным, т.к. в выражении для Z отсутствуют неосновные переменные с отрицательными коэффициентами. Таким образом

Y = Y = ((4/5); (3/5); 0; 0; 0; 0).

Звездочка над буквой показывает, что полученное решение оптимально.

Критерий оптимальности при отыскании минимума целевой функции: если в выражении целевой функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при переменных, то решение оптимально.