6. Несобственные интегралы

1. Сведения из теории

Несобственный интеграл от функции по промежутку:

.

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если бесконечен или вообще не существует, то несобственный интеграл расходится.

2. Примеры решения задач

1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

◄ . ►

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

◄

.

Итак, несобственный интеграл расходится. ►

3. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

◄(табличный интеграл 11) = .

Мы учли, что , а.►

4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

◄

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

.	.
.	.
.	.

7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

1. Сведения из теории

Площадь S фигуры, ограниченной линиями ,,,, гдепри(рис. 1), находится по формуле

.

ПлощадьS фигуры, ограниченной линиями ,,,,гдепри(рис. 2), находится по формуле

.

Конечно, формула (8.1) – частный случай формулы (8.2) при ,.

Объем тела, полученного вращением вокруг осиOx фигуры, ограниченной линиями ,,,, гдепри, (рис. 3) находится по формуле

.

Длина дуги ,, находится по формуле

.

2. Примеры решения задач

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,,(рис. 4).

◄ По формуле (8.1) площадь

. ►

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,,.

◄ Найдем абсциссу точки пересечения линий и:

, ,,,,.

С учетом вида графиков функций иполучаем, что фигура имеет вид, изображенный на рис. 5. По формуле (8.2) площадь фигуры

. ►

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями,.

◄ Для нахождения абсцисс точек пересечения линийиполучаем квадратное уравнениеили. Решая его, получаем,,. Фигура имеет вид, изображенный на рис. 6. По формуле площадь фигуры

. ►

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями,,,.

◄ Фигура имеет вид, изображенный на рис. 7. Ее площадь находим по формуле (8.2):

. ►

5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг осиOx фигуры, ограниченной линиями ,,(рис. 8).

◄ По формуле (8.3) объем тела вращения

(по формуле (6.1) понижения степени)

. ►

6. Найти длину дуги ,.

◄ По формуле (8.4) длина дуги

||так как , то|| = .►

2. Задачи для самостоятельного решения

Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

, .	, .
, .	, ,.
, .	, ,.

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной указанными линиями.

7. , ,.

8. , ,,.

Найти длину дуги.

, .

, .

Ответы

1.3.1. ;	1.3.2. ;	1.3.3. ;
1.3.4. ;	1.3.5. ;	1.3.6. ;
1.3.7. ;	1.3.8. ;	1.3.9. ;
1.3.10. ;	1.3.11. 2,5;	1.3.12. 68/3;
1.3.13. 3/4;	1.3.14. 1;	1.3.15. 0;
1.3.16. 1;	1.3.17. 1;	1.3.18. 1;
1.3.19. ;	1.3.20. ;	1.3.21. ;
1.3.22. 1;	2.3.1. ;	2.3.2. ;
2.3.3. ;	2.3.4. ;	2.3.5. ;
2.3.6. ;	2.3.7. ;	2.3.8. ;
2.3.9. ;	2.3.10. ;	2.3.11. ;
2.3.12. ;	2.3.13. ;	2.3.14. ;
2.3.15. ;	2.3.16. ;	2.3.17. ;
2.3.18. ;	2.3.19. ;	2.3.20. ;
2.3.21. ;	2.3.22. ;	2.3.23. ;
2.3.24. ;	2.3.25. ;	2.3.26. ;
2.3.27. ;	2.3.28. ;	2.3.29. ;
2.3.30. ;	2.3.31. 1/2;	2.3.32. 2;
2.3.33. 14/9;	2.3.34. ;	2.3.35. 2/9;
2.3.36. ;	2.3.37. ;	2.3.38. ;
2.3.39. ;	2.3.40. ;	2.3.41. ;
2.3.42. 256/15;	3.3.1. ;	3.3.2. ;

3.3.3. ;		3.3.4. ;
3.3.5. ;		3.3.6. ;
3.3.7. ;		3.3.8. ;
3.3.9. ;	3.3.10. ;	3.3.11.;	3.3.12. 1;
4.3.1. ;		4.3.2. ;
4.3.3. ;		4.3.4. ;
5.3.1. ;		5.3.2. ;
5.3.3. ;		5.3.4. ;
5.3.5. ;		5.3.6. ;
6.3.1. ;		6.3.2. ;
6.3.3. ;		6.3.4. ;
6.3.5. ;		6.3.6. ;
6.3.7. ;		6.3.8. ;
6.3.9. 0;	7.3.1. 1/2;	7.3.2. 0,1;	7.3.3.расходится;
7.3.4. ;	7.3.5. 1;	7.3.6. ½;	8.3.1. 4/3;
8.3.2. 1/6;	8.3.3. 32/3;	8.3.4. ;	8.3.5. 2;
8.3.6. 1/2;	8.3.7. ;	8.3.8. ;	8.3.9. 14/3;

8.3.10. _.